Formel für Primsummanden ist eine Formel für Primzahlen und ein Beweis für die Riemannsche Vermutung

Das Pendant zur Primfaktorzerlegung ist die Primsummandzerlegung als Darstellung einer natürlichen Zahl n als Summe aus eindeutigen Primsummanden, die aus der Formel 2a + Wurzel (3a² + 1) als unendliche Reihe hervorgehen, deren erstrangige Anwendung in absteigender Reihenfolge die Eindeutigkeit bewirkt. Das in dieser Formel "versteckte" Muster steuert die Verteilung der Primzahlen und bewirkt die Kongruenz zwischen Primfaktoren und Primsummanden.

Die Folge der Primsummanden mit ungerader fortlaufender Zahl wurde 1964 von N. J. A. Sloane (Homepage) als Spezial-Fall der Lucas-Folgen gefunden. Ihre Primsummanden mit den Endziffern 0, 5, 6 und 9 enthalten ab der lfd. Zahl 5 immer die lfd. Zahl oder die lfd. Zahl + 2 als Primfaktor, wenn diese Primzahlen sind. Dieser Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen analog mit der o. g. Kongruenz überlagert, sodass die Abfolge der Primzahlen mit der Faktorzerlegung der Primsummanden identisch ist. Diese Identität ist der Beweis der Riemannschen Vermutung.

Die Riemannsche Zeta-Funktion zeigt den Zusammenhang zwischen Primzahlen und nichttrivialen Nullstellen als Beziehung zwischen komplexer Analysis und Zahlentheorie. Die Riemannsche Vermutung über die Lage der nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden mit Realteil 1/2 wird von der Formel für Primsummanden bestätigt: Primsummanden mit ungerader lfd. Zahl sind 1/2 der Differenz der Summe ihrer beiden Vorgänger und der Summe ihrer selbst und ihres Nachfolgers (siehe Grafik).

Da die Primzahlen analog zu den laufenden Zahlen immer in den 1/2-Bildnern als ggT auftreten und diese Analogie an diese gebunden ist, liegt aufgrund der additiven Logik der Formel für Primsummanden hier die Analogie zwischen Addition und Multiplikation vor, die Riemann mit seiner Vermutung gezeigt hat.

Dahinter steht ein noch einfacheres Gesetz: Das 4-fache der 1/2-Bildner ist abzüglich ihres Vorgängers immer ihr Nachfolger. (oeis.org: a(n) = 4*a(n-1) - a(n-2) mit a(0) = 0, a(1) = 1.) Mit diesem Konstrukt lassen sich aus 1 alle Primzahlen ableiten!

Und es kommt noch "verrückter"! Jedes Primsummandpaar bildet durch Multiplikation in verdoppelter Vielfachfolge die Werte der ungeraden Primsummanden wie z. B. 15 · 26 = 390 · 2 = 780, 780 · 1351 = 1053780 · 2 = 2107560,  2107560 · 3650401 = 7693439131560 · 2 = 15386878263120, 15386878263120 · 26650854921601 · 2 = usw.

Alle Primsummanden als additiv gebildete 1/2-Bildner zeigen sich nach diesem Gesetz als multiplikative 1/2-Bildner. Deshalb zeigt sich hier die perfekte Symbiose von Addition und Multiplikation. Und somit ist der Zusammenhang der Kongruenz von Primfaktoren und Primsummanden gefunden.

Die Formel für Primsummandzerlegung erzeugt nur für ihre Eigenwerte Ganzzahlen und verknüpft dabei über die 1/2-Bildner der Primsummanden die Addition der reziproken Quadratzahlen (Riemannsche Zeta-Funktion π²/6) mit der Multiplikation der Primzahlen (π²/6).

Leonhard Euler hat als Erster die Verbindung der Zeta-Funktion zu den Primzahlen entdeckt. Aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sind Primzahlen sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen. Das Erstaunliche an dem nach Euler benannten Euler-Produkt ist dessen Darstellung der einfachen Identität zwischen den "chaotischen" Primzahlen und einer wohlgeordneten Reihe. Es lässt sich als analytische Version des Gesetzes der eindeutigen Primfaktorzerlegung interpretieren. Dieses Gesetz findet auch in der Formel für Primsummanden Anwendung. Deshalb zeigt diese die Kongruenz der Primsummanden und der Primfaktoren und beweist damit die Riemannsche Vermutung!

Marcus du Sautoy: "Die sinusförmigen Wellen, die Riemann aus den Nullstellen der Zeta-Landschaft erschaffen hatte, offenbarten eine versteckte Harmonie."

Wikipedia: "All diesen Ideen liegt eine Analogie zugrunde, die sich vereinfacht etwa so beschreiben lässt: Die Primzahlen sind "Elementarteilchen", die über die Multiplikation in Wechselwirkung treten und so die zusammengesetzten Zahlen aufbauen. Gleichzeitig werden die "Teilchen" durch die Addition angeordnet. In der Zeta-Funktion werden nun in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv/natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden."

http://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis

  • "Die höchste Form des reinen Denkens findet sich in der Mathematik." (Platon)
  • "Die Zahl ist das Wesen aller Dinge." (Pythagoras)
  • "Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen." (Galilei)
  • "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." (Leopold Kronecker)
  • "Zeit ist die Zahl der Bewegung hinsichtlich des davor und danach." (Aristoteles)
  • "Ein Pfeil bewegt sich nicht. Er ändert lediglich seinen Ort." (Zenon)


Zahlen als transzendente Grundlage für ihre immanente Anwendung beim Aufbau der Struktur von Raum und Zeit

"Alle Elementargrößen und überhaupt alle entscheidenden Größen des Weltalls sind vom Ursprung her bestimmt. Damit sind Elementarmasse, Elementarlänge  und Elementarzeit als kosmische Elementar-Einheiten gegeben. Darin liegt auch das Geheimnis begründet, warum die Naturkonstanten c und h diejenigen Zahlenwerte besitzen, die sie eben besitzen: sie sind im absoluten Ur-Maßsystem einfach alle 1; weil und wie Elementarmasse, Elementarlänge und Elementarzeit je gleich 1 sind.

Warum diese Elementar-Einheiten der Länge (Raum), Masse (Energie) und Dauer (Zeit) etwa in unserem Zentimeter-Gramm-Sekunden-Maßsystem so krumme Zahlenwerte besitzen, ist gar keine physikalische, sondern nur eine historische Frage: warum die Menschen miteinander übereingekommen sind, den 1 000 000 000sten Teil des Erdquadranten als Längen-Einheit "Zentimeter" (cm), die Menge von einem Kubik-Zentimeter Wasser als Massen-Einheit "Gramm" (g), den 24·60·60sten Teil einer Erdumdrehung als Zeit-Einheit "Sekunde" (sec) fiktiv festzulegen - und alles in diesem "c-g-s-System" auszudrücken.

Wichtige Probleme der Physik lösen sich oft ganz von selbst, wenn man sie nur in den kosmischen Elementareinheiten des Ur-Maßsystems ausdrückt, also in Größen mit der natürlichen 1-Wertigkeit." (Bernhard Philbert, DER DREIEINE, Seite 263)

Zahlen treten in geistig-transzendenten Naturgesetzen auf und erzeugen Strukturen im Aufbau und Sein der Welt. Ihre Anwendung in transzendenten Bauplänen (Ideen) dient der Verwirklichung immanenter Größen in der Natur.

Zahl 1 - Grundlage für 1-Wertigkeit und Primalität

Im Kehrwert als Beziehung zu ihrem Quadrat codiert eine Zahl ihre Primalität über ihre Periodenlänge, die als Einfache oder Vielfache zu Zahlen mit gleichen Primfaktoren führt. Mit diesem Code findet eine Primzahl sich selbst als ggT als erste folgende Zahl ihrer Periodenlänge oder eines der Vielfachen ihrer Periodenlänge. Fehlt die Primalität, finden sich nur Zahlen mit gleichen Primfaktoren. Die Teilbarkeiten der Periodenlängen ergeben sich aus dem kleinen Fermat. Grundlage ist die Kongruenz in der Zahlentheorie.

Die gesuchte Formel zur Berechnung der Primzahlen gleicht der Suche nach einem Phantom, weil die Primalität jeder Primzahl ein einzigartiges Muster darstellt, das im Zusammenhang mit allen anderen Primzahlen deren Abfolge bestimmt und ein Hypermuster erzeugt, welches in keine Formel gefasst werden kann. In diesem wächst die Mathematik gleichsam über sich selbst hinaus und verschließt sich den Weg, dieses in einer Formel auszudrücken. Das Sieb des Eratosthenes zeigt, dass eine neue Primzahl sich immer als Lücke der Vielfachen der ihr vorausgegangenen Primzahlen findet.

Die Ordnung der Primzahlen - Gesetz des faktoriellen Grenzwerts

Diese Lücken-Logik ist fraktal und steuert die Primzahlenverteilung über Grenzwerte als angestrebte Proportionalitätsfaktoren im Gesetz des faktoriellen Grenzwerts. Dieses bildet für alle auftretenden Mengenverhältnisse von Primzahlen in faktoriell erweiterten Zahlenräumen Grenzwerte, die sich einem angewandten Faktor nähern. Bei Faktor 2 stehen die bis 573.259.391 auftretenden 30.000.000 Primzahlen den bis 1.146.518.782 auftretenden 57.893.494 im Verhältnis 1,9297831333333...

Die mit zunehmender Größe seltener werdenden Primzahlen treten in faktoriell erweiterten Zahlenräumen immer öfters auf. Aus einer Konvergenz gegen Null entsteht eine Konvergenz gegen unendlich.

Besonders danke ich Dr. J. Volkmar Schmidt, dessen Software HACKY mir eine sehr große Hilfe war beim Erkunden der Welt der Primzahlen. HACKY ist ein sehr schnelles und effizientes Werkzeug, um Primzahlen zu generieren und zu prüfen.

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Leonhard Euler: Summe der reziproken Quadratzahlen = Produkt der Primzahlen = Grenzwert π²/6 (=1,644934...).

 Vom Punkt zur Kugel

Da die Summe und das Produkt π²/6 sind, hat eine Kugel mit dem Durchmesser 3. Wurzel von π ein Volumen von π²/6 und stellt geometrisch die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen dar.

Die Kreiszahl π zeigt damit ihr ureigenstes Wesen: die Bestimmung des Volumens einer Kugel.

Indem sie als Kubik auftritt, stellt sie den Bezug eines Punktes als Elementarvolumen im Verhältnis zur Unendlichkeit des Raumes her und weist gleichzeitig durch ihr Auftreten als Quadrat auf das mit diesem Volumen zusammenhängende Wachstum der Kugeloberfläche mit dem Quadrat des Abstands zum Kugelmittelpunkt und auf die reziproke Abnahme einer physikalischen Größe (Abstandsgesetz) hin.

Dies bestätigt die intuitive Erkenntnis des Parmenides aus Elea, dass alles der Vollkommenheit einer Kugel entspricht.

Zenon von Elea zeigte mit den Paradoxa der Bewegung (Pfeilparadoxon, Achilles und die Schildkröte) die Diskretheit als Grundlage von Raum, Bewegung, Zeit und Quantentheorie. Hier begegnen sich die 1. und die 3. Dimension, indem ein Punkt der Größe 1 durch Ausbreitung in die 3. Dimension den Raum einer Kugel mit dem Volumen π²/6 bildet, die zum Synonym für alle Punkte wird, die als Vielfache die mathematische Grundlage für die Unendlichkeit des Raumes und der darin stattfindenden Bewegung bilden. Die 1. Dimension verwirklicht sich in der 3. Dimension. Hier findet sie ihre Bestimmung, ihr Ziel und ihre Vollendung. Der Raum als Ort wird zum Spiel-Feld der Zahlen über die Mathematik der Geometrie. Die der Ordnungsstruktur der Zahlen zu Grunde liegende Transzendenz wird bei der Strukturbildung physikalischer Phänomene durch Naturgesetze immanent angewandt. Qualitäten werden über geometrische Größen und Naturkonstanten gebildet. Die Zeit ist zusätzliche Dimension für die Dynamik des Geschehens.

Die von Mathematikern gesuchte Bedeutung hinter den Primzahlen findet sich in der Volumenformel für eine Kugel. Über den Fundamentalsatz der Arithmetik bilden die Primzahlen die Grundlage für die Unendlichkeit der Zahlen als transzendente Voraussetzung für die immanente Anwendung in der Unendlichkeit des Raumes und den darin stattfindenden Prozessen.

π²/6 ist ein Universalcode, der dem Raum und der Bewegung zu Grunde liegt.

Die Bedeutung der Quadratzahlen zeigt die Ulam-Spirale. 2 Geraden mit den jeweils geraden und ungeraden Quadratzahlen treffen sich in der 1 als Mittelpunkt und teilen die Ulam-Spirale in 2 gleichseitige Hälften. Ab der Primzahl 3 liegen alle Quadratzahlen und somit auch die Quadrate der "chaotischen" Primzahlen auf der Geraden mit den ungeraden Quadratzahlen.





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Großer Satz von Fermat: aⁿ + bⁿ ≠ cⁿ für a, b, c, n ϵ N mit n > 2

Fermat hat sich nicht geirrt. Sein in seinem Exemplar der Arithmetica des Diophantos von Alexandria angeführter Beweis für die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen für Potenzen höher 2 beim Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Änderung der Gaußschen Summenformel in n(n-1)/2, deren Summen die Dreieckszahlen bis n-1 als Faktor 6 für jedes n ergeben. Die besonderen Eigenschaften der Faktoren 6 sind die Grundlage für Fermats einfachen Beweis.

Durch die Addition zweier dritter Potenzen wird die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen verlassen, weil der Faktor 6 eines n1 auch in der 3. Potenz eines n2 enthalten ist. Somit ist eine Addition von vorneherein ausgeschlossen!

Gemäß dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist die Primfaktorzerlegung eindeutig auf Grund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Diese wird bei der Faktor-6-Zerlegung über die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen auf die Addition angewendet.

Aus den möglichen Additionen der Faktoren 6 einer Zahl n geht hervor, dass gleiche Faktoren 6 nicht bildbar sind. Das Beispiel anhand der 19 zeigt: Die Summen der Faktoren 6 (Spalte 5) geteilt durch 19 ergeben durch ihre Differenzen die Reihe der natürlichen Zahlen. Excel-Tabelle zur Berechnung der möglichen Faktor-6-Kombinationen bei a³ + b³ = c³



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Analogie zwischen Addition und Multiplikation

n(n-1)/2 (Quadrat) bewirkt eine Äquivalenz zu n(n²-1) (Kubik) über den Faktor 6. Grundlage ist n(n-1)/2 · 2 + n = . Faktoren 6 werden additiv gebildet wegen der Analogie zwischen Addition (Quadrat) und Multiplikation (Kubik), die Euler (Summe und Produkt) nachgewiesen hat mit dem Grenzwert π²/6.

Dreieckszahlen ergeben sich auch aus n(n²-1)/6, einer Ableitung aus der Formel für Kuben: n(n²-1) + n. Dies begründet die 6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen höheren Potenzen.










Auffallend bei folgenden Beispielen ist, dass wenn F6 (a) + F6 (b) = F6 (c), a + b - c immer gleich a³ + b³ - c³ ist. Warum wohl?


Da die Faktoren 6 auch über die Multiplikation von n(n²-1) aus der Formel für Kuben berechnet werden können, besteht ein Zusammenhang zur Addition über n(n-1)/2. Die Addition wiederum steht im Zusammenhang mit den Quadratzahlen über n(n-1)/2 · 2 + n = , die mit dem unendlichen Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Grenzwert π²/6 (=1,644934...) im Zusammenhang stehen.

Zu guter Letzt bilden die Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus (n²-1)/n² den Grenzwert 1/2, der die Grundlage für den Beweis der Riemannschen Vermutung ist, die auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation beruht und davon ausgeht, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil 1/2 besitzen.

Der Realteil 1/2 lässt sich über n(n-1)/2 auf die Quadratzahlen zurückführen. Hierbei ist überall eine 6er-Symmetrie wirksam, die immer bei Quadratzahlen in Erscheinung tritt.

Die Riemannsche Vermutung beruht auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation. Da Euler diese bewiesen hat, hat er damit den Geniestreich seines Lebens geliefert, den Beweis für die Riemannsche Vermutung.

Das unendliche Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Ergebnis des Grenzwerts π²/6 (=1,644934...) hat nämlich ein Pendant bei den Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus 1/(n²/(n²-1)) bzw. (n²-1)/ mit dem Grenzwert 1/2.

Diese Formel stellt einen Bezug her zwischen Quadratzahlen und höheren Potenzen, der auf der 6-er-Symmetrie basiert. Somit ist auch das aus ihr hervorgehende Produkt die Grundlage für jede Symmetrie zur Zahl 6, der auch die Primzahlen unterliegen mit dem unendlichen Produkt aus p²/(p²-1).

Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besitzen den Realteil 1/2 laut der Riemannsche Vermutung. Somit zeigt diese Formel den Beweis, weil n²-1 seinen Ursprung in der Änderung der Gaußschen Summenformel hat.

Der Realteil 1/2 wird so zu seinem Ursprung zurückgeführt, dorthin, wo alles angefangen hat, bei n(n-1)/2.

Und das hat bei n(n+1)/2 angefangen. Gauß lässt grüßen. Der Kreis hat sich geschlossen.

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