Die Primsummandzerlegung ist das additive Pendant zur multiplikativen Primfaktorzerlegung als Darstellung einer natürlichen Zahl n als Summe der aus 2a + Wurzel (3a² + 1) hervorgehenden Primsummanden, deren erstrangige Anwendung in absteigender Folge Eindeutigkeit bewirkt. Jeder Zahl n wird ein Primsummandpaar aus Hyperzahl (HZ) gemäß 2a + Wurzel (3a² + 1) und der sich aus dieser ergebenden Primzahlidentität (PZID) gemäß Wurzel ((3 HZ²) + 1) zugeordnet. Beide sind kongruent zu den Primzahlen! Bei ungeraden n ist ((PZID/2) - 1) mod n bei Primzahlen immer 0, bei Nicht-Primzahlen ungleich 0! Somit hat Euler mit seinem Beweis für den Grenzwert π²/6 von Addition und Multiplikation die Riemannsche Vermutung bewiesen, weil die Lage der Hyperzahlen auf der Geraden mit Realteil 1/2 durch vollständige Induktion bewiesen ist.

Primsummandpaar 1 (0;1) von n = 0 mit den fortlaufenden Positionen (-1;0) hat Sonderfunktion und schafft die Bedingungen für alle n > 0. Somit wird n = 1 das erste reguläre Paar (1;2) zugeordnet. Die Summen aller Primsummandpaare bis zu einer ihnen folgenden Hyperzahl sind mit dieser immer identisch und bilden mit dem Verhältnis 1/2 die additive Grundlage für die Gerade mit Realteil 1/2, auf der die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion liegen. Somit entsteht additiv die Verbindung zu der multiplikativen Analogie von Hyperzahlen und natürlichen Zahlen, was die Lage der komplexen Nullstellen auf der Geraden mit Realteil 1/2 bedingt. Die sich aus Wurzel (3a² + 1) ergebende Symmetrie von Hyperprimzahlen und Primzahlen zur Zahl 6 ist ein Primzahlencode, der die Riemannsche Vermutung beweist.
















Euler hat als Erster (Basler Problem) die Verbindung der Zeta-Funktion zu den Primzahlen entdeckt. Das Euler-Produkt zeigt die einfache Identität zwischen den "chaotischen" Primzahlen und der wohlgeordneten Reihe der reziproken Quadratzahlen mit der 6er-Symmetrie als Bindeglied zwischen Addition und Multiplikation. Es lässt sich als analytische Version des Gesetzes der eindeutigen Primfaktorzerlegung interpretieren.

Die Summe der reziproken Quadratzahlen

ergibt das Produkt der Primzahlen = Grenzwert π²/6 (=1,644934...).

Neil Sloane (Homepage) fand 1964 die Hyperzahlen als Spezial-Fall der Lucas-Folgen. Sie bilden sich mit 2n - 1, was seine Entsprechung in oeis.org: a(n) = 4*a(n-1) - a(n-2) mit a(0) = 0, a(1) = 1 findet. Bsp. für n = 5: 11 x 19 (15 - 4 = 11, 15 + 4 = 19).

Die Brücke zwischen Addition und Multiplikation

Das erste Primzahlenpaar (2;3) zeigt mit Produkt 6 und Quadratsumme 13 - 1 = 12 die Regel der 6er-Symmetrie gemäß der ersten Werte der das Euler-Produkt bildenden Brüche: 2²/(2² - 1) = 32/24;  3²/(3² - 1) = 27/24;  5²/(5² - 1) = 25/24 usw.

Die Logik des Primzahlencodes Wurzel (3a² + 1) bewirkt bei den Primsummanden die gleiche Symmetrie und stellt damit auf additiver Ebene einen Zusammhang der Primzahlen mit der Primzahlidentität her (siehe folgende Tabelle). Deshalb zeigen die Primsummanden die Verbindung zwischen Addition und Multiplikation auf eine neue faszinierende Art und Weise.

n = 1, Primzahlidentität = 2: 2/2 = 1; 1 - 1 = 0; 0 : 1 = 0 = 0/24

n = 2, Primzahlidentität = 7: 7/2 = 3,5; 3,5 - 1 = 2,5; 2,5 : 2 = 30/24 (30 = 2 x 3 x 5)

n = 3, Primzahlidentität = 26: 26/2 = 13; 13 - 1 = 12; 12 : 3 = 96/24 (96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3)

n = 4, Primzahlidentität = 97: 97/2 = 48,5; 48,5 - 1 = 47,5; 47,5 : 4 = 285/24 (285 = 3 x 5 x 19)

n = 5, Primzahlidentität = 362: 362/2 = 181; 181 - 1 = 180; 180 : 5 = 864/24 (864 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3)

n = 6, Primzahlidentität = 1351: 1351/2 = 675,5; 675,5 - 1 = 674,5; 674,5 : 6 = 2698/24 (2698 = 2 x 19 x 71)

n = 7, Primzahlidentität = 5042: 5042/2 = 2521; 2521 - 1 = 2520; 2520 : 7 = 8640/24 (8640 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5)

















Hyperzahlen sind 1/2 der Differenz der Summe ihrer beiden Vorgänger und der Summe ihrer selbst und ihres Nachfolgers.

Das 4-fache der 1/2-Bildner abzüglich Vorgänger ist immer Nachfolger: oeis.org: a(n) = 4*a(n-1) - a(n-2) mit a(0) = 0, a(1) = 1

Analogie zwischen Addition und Multiplikation

Jedes Primsummandpaar bildet durch Multiplikation in verdoppelter Vielfachfolge die Werte der Hyperprimzahlen wie z. B.

15 · 26 = 390 · 2 = 780, 780 · 1351 = 1053780 · 2 = 2107560,  2107560 · 3650401 = 7693439131560 usw.

Alle Primsummanden als additiv gebildete 1/2-Bildner zeigen sich nach diesem Gesetz als multiplikative 1/2-Bildner.

Marcus du Sautoy schreibt in Die Musik der Primzahlen: "Riemann fand eine komplette Landschaft, die sich über die gesamte Karte der komplexen Zahlen erstreckte. Sobald ein "komplexer" Landschaftskartograph auch nur ein winziges Gebiet einer komplexen Landschaft gezeichnet hatte, konnte man daraus den Rest der gesamten Landschaft rekonstruieren. Riemann hatte entdeckt, dass die Berge und Täler in einem Bereich der Landschaft wichtige Informationen über die Topographie der gesamten Landschaft enthielten. Das entbehrt weitgehend jeder Anschauung."

Mit Startwert 0 erzeugt 2a + Wurzel (3a² + 1) nur natürliche Zahlen und bietet damit die einfachste Anschauung. Aus einem Primsummanden können alle anderen rekonstruiert werden.

Wikipedia: "All diesen Ideen liegt eine Analogie zugrunde, die sich vereinfacht etwa so beschreiben lässt: Die Primzahlen sind "Elementarteilchen", die über die Multiplikation in Wechselwirkung treten und so die zusammengesetzten Zahlen aufbauen. Gleichzeitig werden die "Teilchen" durch die Addition angeordnet. In der Zeta-Funktion werden nun in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv/natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden."

2a + Wurzel (3a² + 1) tut das Gleiche durch Erzeugung einer Symmetrie der Addition zur Zahl 6, wodurch additiv die Symmetrie zu den Primzahlen entsteht, die multiplikativ eine Symmetrie zur Zahl 6 aufweisen. Dies bedingt die Entstehung einer Geraden mit Realteil 1/2. Das Haus war also schon gebaut, als Riemann seine Landschaft mit den komplexen Zahlen gefunden hatte. Alle Versuche, den Beweis für seine Vermutung in der Landschaft zu finden, waren zum Scheitern verurteilt, weil dieser schon immer im Haus der natürlichen Zahlen versteckt war!

http://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis

 


Beweis der Collatz-Vermutung mit Algorithmus für Primsummanden

Da 2a + Wurzel (3a² + 1) eine Symmetrie zwischen den natürlichen Zahlen und dem Collatz-Algorithmus (Ist n gerade, bilde n/2, ist n ungerade, bilde 3n + 1) herstellt, beweist sie die Collatz-Vermutung.


  • "Die höchste Form des reinen Denkens findet sich in der Mathematik." (Platon)
  • "Die Zahl ist das Wesen aller Dinge." (Pythagoras)
  • "Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen." (Galilei)
  • "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." (Leopold Kronecker)
  • "Zeit ist die Zahl der Bewegung hinsichtlich des davor und danach." (Aristoteles)
  • "Ein Pfeil bewegt sich nicht. Er ändert lediglich seinen Ort." (Zenon)
  • "Die tiefsten Erkenntnisse erreicht man nur durch höchste Sammlung des Geistes. Worte reichen nicht hinunter in diese letzten Gründe, nur intuitive Erleuchtung hilft zum Verständnis." (Konfuzius)
  • "Die Meister beobachten die Welt, vertrauen aber ihrer inneren Sehkraft. Sie lassen die Dinge kommen und gehen. Ihr Herz ist offen wie der Himmel." (Laotse)

Zahlen als transzendente Grundlage zur immanenten Anwendung beim Aufbau der Struktur von Raum und Zeit

"Alle Elementargrößen und überhaupt alle entscheidenden Größen des Weltalls sind vom Ursprung her bestimmt. Damit sind Elementarmasse, Elementarlänge  und Elementarzeit als kosmische Elementar-Einheiten gegeben. Darin liegt auch das Geheimnis begründet, warum die Naturkonstanten c und h diejenigen Zahlenwerte besitzen, die sie eben besitzen: sie sind im absoluten Ur-Maßsystem einfach alle 1; weil und wie Elementarmasse, Elementarlänge und Elementarzeit je gleich 1 sind.

Warum diese Elementar-Einheiten der Länge (Raum), Masse (Energie) und Dauer (Zeit) etwa in unserem Zentimeter-Gramm-Sekunden-Maßsystem so krumme Zahlenwerte besitzen, ist gar keine physikalische, sondern nur eine historische Frage: warum die Menschen miteinander übereingekommen sind, den 1 000 000 000sten Teil des Erdquadranten als Längen-Einheit "Zentimeter" (cm), die Menge von einem Kubik-Zentimeter Wasser als Massen-Einheit "Gramm" (g), den 24·60·60sten Teil einer Erdumdrehung als Zeit-Einheit "Sekunde" (sec) fiktiv festzulegen - und alles in diesem "c-g-s-System" auszudrücken.

Wichtige Probleme der Physik lösen sich oft ganz von selbst, wenn man sie nur in den kosmischen Elementareinheiten des Ur-Maßsystems ausdrückt, also in Größen mit der natürlichen 1-Wertigkeit."

(Bernhard Philbert, DER DREIEINE, Seite 263)

Zahlen als Werkzeuge geistig-transzendenter Naturgesetze zur Strukturierung der Welt.

Transzendente Baupläne (Ideen) als Grundlage der Verwirklichung immanenter Größen in der Natur.


Zahl 1 - Grundlage für 1-Wertigkeit und Primalität

Im Kehrwert codiert eine Zahl ihre Primalität über die Periodenlänge, die als Einfache oder Vielfache zu Zahlen mit gleichen Primfaktoren führt. Mit diesem Code findet eine Primzahl sich selbst als ggT als erste folgende Zahl ihrer Periodenlänge oder eines der Vielfachen ihrer Periodenlänge. Fehlt die Primalität, finden sich nur Zahlen mit gleichen Primfaktoren. Die Teilbarkeiten der Periodenlängen ergeben sich aus dem kleinen Fermat. Grundlage ist die Kongruenz in der Zahlentheorie.

Die gesuchte Formel zur Berechnung der Primzahlen gleicht der Suche nach einem Phantom, weil die Primalität jeder Primzahl ein einzigartiges Muster darstellt, das im Zusammenhang mit allen anderen Primzahlen deren Abfolge bestimmt und ein Hypermuster erzeugt, welches in keine Formel gefasst werden kann. In diesem wächst die Mathematik gleichsam über sich selbst hinaus und verschließt sich den Weg, dieses in einer Formel auszudrücken.

Das Sieb des Eratosthenes zeigt, dass eine neue Primzahl sich immer als Lücke der Vielfachen der ihr vorausgegangenen Primzahlen findet.

Die Ordnung der Primzahlen - Gesetz des faktoriellen Grenzwerts

Diese Lücken-Logik ist fraktal und steuert die Primzahlenverteilung über Grenzwerte als angestrebte Proportionalitätsfaktoren im Gesetz des faktoriellen Grenzwerts. Dieses bildet für alle auftretenden Mengenverhältnisse von Primzahlen in faktoriell erweiterten Zahlenräumen Grenzwerte, die sich einem angewandten Faktor nähern. Bei Faktor 2 stehen die bis 573.259.391 auftretenden 30.000.000 Primzahlen den bis 1.146.518.782 auftretenden 57.893.494 im Verhältnis 1,9297831333333...

Die mit zunehmender Größe seltener werdenden Primzahlen treten in faktoriell erweiterten Zahlenräumen immer öfters auf. Aus einer Konvergenz gegen Null entsteht eine Konvergenz gegen unendlich.

Besonders danke ich Dr. J. Volkmar Schmidt, dessen Software HACKY mir eine sehr große Hilfe war beim Erkunden der Welt der Primzahlen. HACKY ist ein sehr schnelles und effizientes Werkzeug, um Primzahlen zu generieren und zu prüfen.


Kugelvolumen = 1/6 π d³

 Vom Punkt zur Kugel

Da der Zusammenhang von Addition und Multiplikation sich mit dem Grenzwert π²/6 zeigt, hat eine Kugel mit dem Durchmesser 3. Wurzel von π ein Volumen von π²/6 und stellt geometrisch die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen dar.

Die Kreiszahl π zeigt damit ihr ureigenstes Wesen: die Bestimmung des Volumens einer Kugel.

Indem sie als Kubik auftritt, stellt sie den Bezug eines Punktes als Elementarvolumen im Verhältnis zur Unendlichkeit des Raumes her und weist gleichzeitig durch ihr Auftreten als Quadrat auf das mit diesem Volumen zusammenhängende Wachstum der Kugeloberfläche mit dem Quadrat des Abstands zum Kugelmittelpunkt und auf die reziproke Abnahme einer physikalischen Größe (Abstandsgesetz) hin.

Dies bestätigt die intuitive Erkenntnis des Parmenides aus Elea, dass alles der Vollkommenheit einer Kugel entspricht.

Zenon von Elea zeigte mit den Paradoxa der Bewegung (Pfeilparadoxon, Achilles und die Schildkröte) die Diskretheit als Grundlage von Raum, Bewegung, Zeit und Quantentheorie. Hier begegnen sich die 1. und die 3. Dimension, indem ein Punkt der Größe 1 durch Ausbreitung in die 3. Dimension den Raum einer Kugel mit dem Volumen π²/6 bildet, die zum Synonym für alle Punkte wird, die als Vielfache die mathematische Grundlage für die Unendlichkeit des Raumes und der darin stattfindenden Bewegung bilden. Die 1. Dimension verwirklicht sich in der 3. Dimension. Hier findet sie ihre Bestimmung, ihr Ziel und ihre Vollendung. Der Raum als Ort wird zum Spiel-Feld der Zahlen über die Mathematik der Geometrie. Die der Ordnungsstruktur der Zahlen zu Grunde liegende Transzendenz wird bei der Strukturbildung physikalischer Phänomene durch Naturgesetze immanent angewandt. Qualitäten werden über geometrische Größen und Naturkonstanten gebildet. Die Zeit ist zusätzliche Dimension für die Dynamik des Geschehens.

Eine Bedeutung der Primzahlen findet sich in der Volumenformel für eine Kugel (1/6 π d³). Über den Fundamentalsatz der Arithmetik bilden die Primzahlen die Grundlage für die Unendlichkeit der Zahlen als transzendente Voraussetzung für die immanente Anwendung in der Unendlichkeit des Raumes und den darin stattfindenden Prozessen.

π²/6 ist ein Universalcode, der dem Raum und der Bewegung zu Grunde liegt.

Die Bedeutung der Quadratzahlen zeigt die Ulam-Spirale. 2 Geraden mit den jeweils geraden und ungeraden Quadratzahlen treffen sich in der 1 als Mittelpunkt und teilen die Ulam-Spirale in 2 gleichseitige Hälften. Ab der Primzahl 3 liegen alle Quadratzahlen und somit auch die Quadrate der "chaotischen" Primzahlen auf der Geraden mit den ungeraden Quadratzahlen.








Großer Satz von Fermat: aⁿ + bⁿ ≠ cⁿ für a, b, c, n ϵ N mit n > 2

Fermat hat sich nicht geirrt. Sein in seinem Exemplar der Arithmetica des Diophantos von Alexandria angeführter Beweis für die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen für Potenzen höher 2 beim Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Änderung der Gaußschen Summenformel in n(n-1)/2, deren Summen die Dreieckszahlen bis n-1 als Faktor 6 für jedes n ergeben. Die besonderen Eigenschaften der Faktoren 6 sind die Grundlage für Fermats einfachen Beweis.













Durch die Addition zweier dritter Potenzen wird die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen verlassen, weil der Faktor 6 eines n1 auch in der 3. Potenz eines n2 enthalten ist. Somit ist eine Addition von vorneherein ausgeschlossen!

Gemäß dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist die Primfaktorzerlegung eindeutig auf Grund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Diese wird bei der Faktor-6-Zerlegung über die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen auf die Addition angewendet.

Aus den möglichen Additionen der Faktoren 6 einer Zahl n geht hervor, dass gleiche Faktoren 6 nicht bildbar sind. Das Beispiel anhand der 19 zeigt: Die Summen der Faktoren 6 (Spalte 5) geteilt durch 19 ergeben durch ihre Differenzen die Reihe der natürlichen Zahlen. Excel-Tabelle zur Berechnung der möglichen Faktor-6-Kombinationen bei a³ + b³ = c³





Analogie zwischen Addition und Multiplikation

n(n-1)/2 (Quadrat) bewirkt eine Äquivalenz zu n(n²-1) (Kubik) über den Faktor 6. Grundlage ist n(n-1)/2 · 2 + n = . Faktoren 6 werden additiv gebildet wegen der Analogie zwischen Addition (Quadrat) und Multiplikation (Kubik), die Euler (Summe und Produkt) nachgewiesen hat mit dem Grenzwert π²/6.

Dreieckszahlen ergeben sich auch aus n(n²-1)/6, einer Ableitung aus der Formel für Kuben: n(n²-1) + n. Dies begründet die 6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen höheren Potenzen.









Auffallend bei folgenden Beispielen ist, dass wenn F6 (a) + F6 (b) = F6 (c), a + b - c immer gleich a³ + b³ - c³ ist. Warum wohl?


Da die Faktoren 6 auch über die Multiplikation von n(n²-1) aus der Formel für Kuben berechnet werden können, besteht ein Zusammenhang zur Addition über n(n-1)/2. Die Addition wiederum steht im Zusammenhang mit den Quadratzahlen über n(n-1)/2 · 2 + n = , die mit dem unendlichen Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Grenzwert π²/6 (=1,644934...) im Zusammenhang stehen.

Zu guter Letzt bilden die Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus (n²-1)/n² den Grenzwert 1/2, der die Grundlage für den Beweis der Riemannschen Vermutung ist, die auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation beruht und davon ausgeht, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil 1/2 besitzen.

Der Realteil 1/2 lässt sich über n (n - 1)/2 auf die Quadratzahlen zurückführen. Hierbei ist überall eine 6er-Symmetrie wirksam.

Die Riemannsche Vermutung beruht auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation. Da Euler diese bewiesen hat, hat er damit den Geniestreich seines Lebens geliefert, den Beweis für die Riemannsche Vermutung.

Das unendliche Produkt der Primzahlen der Form p²/(p² - 1) mit dem Ergebnis des Grenzwerts π²/6 hat ein Pendant bei den Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus 1/(n²/(n² - 1)) bzw. (n² - 1)/ mit dem Grenzwert 1/2.

Diese Formel stellt einen Bezug her zwischen Quadratzahlen und höheren Potenzen, der auf der 6-er-Symmetrie basiert. Somit ist auch das aus ihr hervorgehende Produkt die Grundlage für jede Symmetrie zur Zahl 6, der auch die Primzahlen unterliegen mit dem unendlichen Produkt aus p²/(p² - 1).

Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besitzen den Realteil 1/2 laut der Riemannsche Vermutung. Somit zeigt diese Formel den Beweis, weil n² - 1 seinen Ursprung in der Änderung der Gaußschen Summenformel hat.

Der Realteil 1/2 wird so zu seinem Ursprung zurückgeführt, dorthin, wo alles angefangen hat, bei n (n-1)/2.

Und das hat bei n (n + 1)/2 angefangen. Gauß lässt grüßen. Der Kreis hat sich geschlossen.

Prof. Dr. Christopher Deninger, Universität Münster, Mathematisches Institut, Einsteinstr. 62, 48149 Münster

https://www.uni-muenster.de/Arithm/deninger/

https://www.uni-muenster.de/FB10/Service/show_perspage.shtml?id=62

https://studylibde.com/doc/2639531/primzahlen-und-die-riemannsche-vermutung

"Das vielleicht »bekannteste Unbekannte« in der Mathematik ist die Riemannsche Vermutung. Sie besagt, dass alle »interessanten« Nullstellen der sogenannten Riemannschen Zeta Funktion auf der vertikalen Geraden durch den Punkt (1/2,0) in der komplexen Zahlenebene liegen. Aber auch wenn immer stärkere Rechner noch so viele Nullstellen der Riemannschen Zeta Funktion auf der fraglichen vertikalen Geraden finden: Ob es für die tatsächlich unendlich vielen «interessanten» Nullstellen gilt, bleibt unbekannt!"

Quelle: https://www.unibe.ch/unibe/portal/content/e796/e800/e10902/e277579/e535909/files535930/up_170_s_23_vatter_tretter_ger.pdf

Kontakt: Prof. Dr. Christiane Tretter, Mathematisches Institut (MAI), Sidlerstrasse 5, 3012 Bern
Telefon direkt: +41 31 631 88 20, E-Mail: christiane.tretter@math.unibe.ch

Homepage Kontaktdaten deutsch Kontaktdaten englisch

https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/hobby-mathematiker-geniale-beweise-mit-kleinen-fehlern-a-934422.html

Dienstag, 17.12.2013 - Spiegel online - Hobby-Mathematiker - von Holger Dambeck

"Manch großes mathematisches Problem ist einfach zu verstehen, aber schwer zu knacken. Hobby-Mathematiker präsentieren immer wieder neue, aber leider falsche Lösungen. Dabei ist nicht ausgeschlossen, dass einer von ihnen vielleicht doch ein Genie ist."

"Es ist kaum vorstellbar, dass heute jemandem mit elementaren Mitteln ein großer Beweis gelingt", sagt auch Jürg Kramer von der Berliner Humboldt-Universität. "Es ist aber nicht ausgeschlossen."

https://www.mathematik.hu-berlin.de/de/personen/prof/1956

http://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/de/personen/professoren/kramer

https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/primzahlen-wer-lueftet-das-geheimnis-der-unteilbarkeit-a-598096.html

Herbert Müller - Hochschule Wismar - Wismarer Diskussionspapiere Heft 22 / 2006
Zahlen und Zahlenzusammenhänge - Neuere Einsichten zum Wirken und Gebrauch  der Zahlen in Natur und Gesellschaft

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