Beweis der Riemannschen Vermutung mit einem neuen Werkzeug der Zahlentheorie, der Formel für Primsummanden.

Das Pendant zur Primfaktorzerlegung ist die Primsummandzerlegung als Darstellung einer natürlichen Zahl n als Summe aus von einem Algorithmus gebildeten eindeutigen Primsummanden. Die von ihm erzeugte Folge beinhaltet die Folge der Klasse der ungeraden Primsummanden, welche bereits 1964 von N. J. A. Sloane (seine homepage) gefunden wurde. Sie ist einer vieler weiterer Spezial-Fälle der Lucas-Folgen.

Der Algorithmus erzeugt mit der unendlichen Reihe aus 2a + Wurzel (3a² + 1) nur einfach auftretende Primsummanden, womit die an die Erstrangigkeit in absteigender Reihenfolge gebundene Eindeutigkeit entsteht. Das hat zur Folge, dass z. B. 2 nicht als 1 + 1 dargestellt werden darf und 11 mit 7 + 4 und nicht 7 + 2 + 1 + 1 berechnet wird.

Ab Primzahl 5 ist die lfd. Zahl oder die lfd. Zahl des Nachfolgers eines Primsummanden immer als ggT und somit als Primfaktor in ihm enthalten, wenn die laufende Zahl eine Primzahl ist! Dabei zeigt sich der Zusammenhang zwischen den Quadratzahlen und den Primzahlen auf eine neue Weise, weil ein Primsummand mit ungerader laufender Zahl immer aus der Differenz der Summe seiner beiden Vorgänger und der Summe seiner selbst und seines Nachfolgers 1/2 seiner selbst bildet! Das erinnert an die bis heute weder bewiesene noch widerlegte Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil 1/2 besitzen. 

Da der Algorithmus nur für Primsummanden ganzzahlige Werte liefert, besteht ein Zusammenhang zwischen den laufenden Zahlen n der Primsummanden, die Primzahlen sind, und dem Entstehungsgesetz der Primsummanden, die 1/2 aus der o. g. Differenz bilden. Diese numerische Analogie zeigt die qualitative Analogie des Algorithmus für Primsummandzerlegung, den Beweis der Riemannschen Vermutung.

Er erzeugt über die Formel für Primsummandzerlegung nicht nur fortlaufende Primsummanden, die die Primzahlen strukturiert in aufsteigender Reihenfolge enthalten, sondern vollbringt auch das mathematische "Kunststück", dieses Gesetz in einen überaus einfachen additiv-multiplikativ strukturierten Algorithmus zu packen: Das 4-fache eines ungeraden Primsummanden ergibt abzüglich seines ungeraden Vorgängers immer seinen ungeraden Nachfolger! Und mit diesem Konstrukt lassen sich aus 1 alle Primzahlen ableiten!

oeis.org: a(n) = 4*a(n-1) - a(n-2) mit a(0) = 0, a(1) = 1.

Beweis der Collatz-Vermutung (aus dem Jahr 1937 von Lothar Collatz)

Jedes Element des Algorithmus für Primsummanden enthält die Logik von 2a + a² · 3 + 1. Da mit ihm alle natürlichen Zahlen additiv eindeutig darstellbar sind, ist er die Grundlage für den Beweis der Collatz-Vermutung.

Diese besagt: Wähle eine beliebige natürliche Zahl n. Ist sie gerade, berechne n/2, ist sie ungerade, berechne 3n + 1. Wiederhole beliebig oft mit der erhaltenen Zahl. Die Collatz-Vermutung lautet: Jede Folge erreicht die Zahl 1.

Da der Algorithmus für Primsummanden mit der gleichen Logik aus der Zahl 1 alle natürlichen Zahlen erzeugt, beweist er die Collatz-Vermutung, die mit dieser Logik alle natürlichen Zahlen auf die Zahl 1 zurückführt.

  • "Die höchste Form des reinen Denkens findet sich in der Mathematik."(Platon)
  • "Die Zahl ist das Wesen aller Dinge." (Pythagoras)
  • "Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen." (Galilei)
  • "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." (Leopold Kronecker)
  • "Zeit ist die Zahl der Bewegung hinsichtlich des davor und danach." (Aristoteles)
  • "Ein Pfeil bewegt sich nicht. Er ändert lediglich seinen Ort." (Zenon)

Zahlen als transzendente Grundlage für ihre immanente Anwendung beim Aufbau der Struktur von Raum und Zeit

"Alle Elementargrößen und überhaupt alle entscheidenden Größen des Weltalls sind vom Ursprung her bestimmt. Damit sind Elementarmasse, Elementarlänge  und Elementarzeit als kosmische Elementar-Einheiten gegeben. Darin liegt auch das Geheimnis begründet, warum die Naturkonstanten c und h diejenigen Zahlenwerte besitzen, die sie eben besitzen: sie sind im absoluten Ur-Maßsystem einfach alle 1; weil und wie Elementarmasse, Elementarlänge und Elementarzeit je gleich 1 sind.

Warum diese Elementar-Einheiten der Länge (Raum), Masse (Energie) und Dauer (Zeit) etwa in unserem Zentimeter-Gramm-Sekunden-Maßsystem so krumme Zahlenwerte besitzen, ist gar keine physikalische, sondern nur eine historische Frage: warum die Menschen miteinander übereingekommen sind, den 1 000 000 000sten Teil des Erdquadranten als Längen-Einheit "Zentimeter" (cm), die Menge von einem Kubik-Zentimeter Wasser als Massen-Einheit "Gramm" (g), den 24·60·60sten Teil einer Erdumdrehung als Zeit-Einheit "Sekunde" (sec) fiktiv festzulegen - und alles in diesem "c-g-s-System" auszudrücken.

Wichtige Probleme der Physik lösen sich oft ganz von selbst, wenn man sie nur in den kosmischen Elementareinheiten des Ur-Maßsystems ausdrückt, also in Größen mit der natürlichen 1-Wertigkeit." (Bernhard Philbert, DER DREIEINE, Seite 263)

Zahlen treten in geistig-transzendenten Naturgesetzen auf und erzeugen Strukturen im Aufbau und Sein der Welt. Ihre Anwendung in transzendenten Bauplänen (Ideen) dient der Verwirklichung immanenter Größen in der Natur.

Zahl 1 - Grundlage für 1-Wertigkeit und Primalität

Im Kehrwert als Beziehung zu ihrem Quadrat codiert eine Zahl ihre Primalität über ihre Periodenlänge, die als Einfache oder Vielfache zu Zahlen mit gleichen Primfaktoren führt. Mit diesem Code findet eine Primzahl sich selbst als ggT als erste folgende Zahl ihrer Periodenlänge oder eines der Vielfachen ihrer Periodenlänge. Fehlt die Primalität, finden sich nur Zahlen mit gleichen Primfaktoren. Die Teilbarkeiten der Periodenlängen ergeben sich aus dem kleinen Fermat. Grundlage ist die Kongruenz in der Zahlentheorie.

Die gesuchte Formel zur Berechnung der Primzahlen gleicht der Suche nach einem Phantom, weil die Primalität jeder Primzahl ein einzigartiges Muster darstellt, das im Zusammenhang mit allen anderen Primzahlen deren Abfolge bestimmt und ein Hypermuster erzeugt, welches in keine Formel gefasst werden kann. In diesem wächst die Mathematik gleichsam über sich selbst hinaus und verschließt sich den Weg, dieses in einer Formel auszudrücken. Das Sieb des Eratosthenes zeigt, dass eine neue Primzahl sich immer als Lücke der Vielfachen der ihr vorausgegangenen Primzahlen findet.

Die Ordnung der Primzahlen - Gesetz des faktoriellen Grenzwerts

Diese Lücken-Logik ist fraktal und steuert die Primzahlenverteilung über Grenzwerte als angestrebte Proportionalitätsfaktoren im Gesetz des faktoriellen Grenzwerts. Dieses bildet für alle auftretenden Mengenverhältnisse von Primzahlen in faktoriell erweiterten Zahlenräumen Grenzwerte, die sich einem angewandten Faktor nähern. Bei Faktor 2 stehen die bis 573.259.391 auftretenden 30.000.000 Primzahlen den bis 1.146.518.782 auftretenden 57.893.494 im Verhältnis 1,9297831333333...

Die mit zunehmender Größe seltener werdenden Primzahlen treten in faktoriell erweiterten Zahlenräumen immer öfters auf. Aus einer Konvergenz gegen Null entsteht eine Konvergenz gegen unendlich.

Besonders danke ich Dr. J. Volkmar Schmidt, dessen Software HACKY mir eine sehr große Hilfe war beim Erkunden der Welt der Primzahlen. HACKY ist ein sehr schnelles und effizientes Werkzeug, um Primzahlen zu generieren und zu prüfen.

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Leonhard Euler: Summe der reziproken Quadratzahlen = Produkt der Primzahlen = Grenzwert π²/6 (=1,644934...).

 Vom Punkt zur Kugel

Da die Summe und das Produkt π²/6 sind, hat eine Kugel mit dem Durchmesser 3. Wurzel von π ein Volumen von π²/6 und stellt geometrisch die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen dar.

Die Kreiszahl π zeigt damit ihr ureigenstes Wesen: die Bestimmung des Volumens einer Kugel.

Indem sie als Kubik auftritt, stellt sie den Bezug eines Punktes als Elementarvolumen im Verhältnis zur Unendlichkeit des Raumes her und weist gleichzeitig durch ihr Auftreten als Quadrat auf das mit diesem Volumen zusammenhängende Wachstum der Kugeloberfläche mit dem Quadrat des Abstands zum Kugelmittelpunkt und auf die reziproke Abnahme einer physikalischen Größe (Abstandsgesetz) hin.

Dies bestätigt die intuitive Erkenntnis des Parmenides aus Elea, dass alles der Vollkommenheit einer Kugel entspricht.

Zenon von Elea zeigte mit den Paradoxa der Bewegung (Pfeilparadoxon, Achilles und die Schildkröte) die Diskretheit als Grundlage von Raum, Bewegung, Zeit und Quantentheorie. Hier begegnen sich die 1. und die 3. Dimension, indem ein Punkt der Größe 1 durch Ausbreitung in die 3. Dimension den Raum einer Kugel mit dem Volumen π²/6 bildet, die zum Synonym für alle Punkte wird, die als Vielfache die mathematische Grundlage für die Unendlichkeit des Raumes und der darin stattfindenden Bewegung bilden. Die 1. Dimension verwirklicht sich in der 3. Dimension. Hier findet sie ihre Bestimmung, ihr Ziel und ihre Vollendung. Der Raum als Ort wird zum Spiel-Feld der Zahlen über die Mathematik der Geometrie. Die der Ordnungsstruktur der Zahlen zu Grunde liegende Transzendenz wird bei der Strukturbildung physikalischer Phänomene durch Naturgesetze immanent angewandt. Qualitäten werden über geometrische Größen und Naturkonstanten gebildet. Die Zeit ist zusätzliche Dimension für die Dynamik des Geschehens.

Die von Mathematikern gesuchte Bedeutung hinter den Primzahlen findet sich in der Volumenformel für eine Kugel. Über den Fundamentalsatz der Arithmetik bilden die Primzahlen die Grundlage für die Unendlichkeit der Zahlen als transzendente Voraussetzung für die immanente Anwendung in der Unendlichkeit des Raumes und den darin stattfindenden Prozessen.

π²/6 ist ein Universalcode, der dem Raum und der Bewegung zu Grunde liegt.

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Die Bedeutung der Quadratzahlen zeigt die Ulam-Spirale. 2 Geraden mit den jeweils geraden und ungeraden Quadratzahlen treffen sich in der 1 als Mittelpunkt und teilen die Ulam-Spirale in 2 gleichseitige Hälften. Ab der Primzahl 3 liegen alle Quadratzahlen und somit auch die Quadrate der "chaotischen" Primzahlen auf der Geraden mit den ungeraden Quadratzahlen.





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Großer Satz von Fermat: aⁿ + bⁿ ≠ cⁿ für a, b, c, n ϵ N mit n > 2

Fermat hat sich nicht geirrt. Sein in seinem Exemplar der Arithmetica des Diophantos von Alexandria angeführter Beweis für die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen für Potenzen höher 2 beim Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Änderung der Gaußschen Summenformel in n(n-1)/2, deren Summen die Dreieckszahlen bis n-1 als Faktor 6 für jedes n ergeben. Die besonderen Eigenschaften der Faktoren 6 sind die Grundlage für Fermats einfachen Beweis.

Durch die Addition zweier dritter Potenzen wird die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen verlassen, weil der Faktor 6 eines n1 auch in der 3. Potenz eines n2 enthalten ist. Somit ist eine Addition von vorneherein ausgeschlossen!

Gemäß dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist die Primfaktorzerlegung eindeutig auf Grund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Diese wird bei der Faktor-6-Zerlegung über die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen auf die Addition angewendet.

Aus den möglichen Additionen der Faktoren 6 einer Zahl n geht hervor, dass gleiche Faktoren 6 nicht bildbar sind. Das Beispiel anhand der 19 zeigt: Die Summen der Faktoren 6 (Spalte 5) geteilt durch 19 ergeben durch ihre Differenzen die Reihe der natürlichen Zahlen.

Download Excel-Tabelle zur Berechnung der möglichen Faktor-6-Kombinationen bei a³ + b³ = c³



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Analogie zwischen Addition und Multiplikation

n(n-1)/2 (Quadrat) bewirkt eine Äquivalenz zu n(n²-1) (Kubik) über den Faktor 6. Grundlage ist n(n-1)/2 · 2 + n = . Faktoren 6 werden additiv gebildet wegen der Analogie zwischen Addition (Quadrat) und Multiplikation (Kubik), die Euler (Summe und Produkt) nachgewiesen hat mit dem Grenzwert π²/6.

Dreieckszahlen ergeben sich auch aus n(n²-1)/6, einer Ableitung aus der Formel für Kuben: n(n²-1) + n. Dies begründet die 6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen höheren Potenzen.










Auffallend bei folgenden Beispielen ist, dass wenn F6 (a) + F6 (b) = F6 (c), a + b - c immer gleich a³ + b³ - c³ ist. Warum wohl?


Da die Faktoren 6 auch über die Multiplikation von n(n²-1) aus der Formel für Kuben berechnet werden können, besteht ein Zusammenhang zur Addition über n(n-1)/2. Die Addition wiederum steht im Zusammenhang mit den Quadratzahlen über n(n-1)/2 · 2 + n = , die mit dem unendlichen Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Grenzwert π²/6 (=1,644934...) im Zusammenhang stehen.

Zu guter Letzt bilden die Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus (n²-1)/n² den Grenzwert 1/2, der die Grundlage für den Beweis der Riemannschen Vermutung ist, die auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation beruht und davon ausgeht, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil 1/2 besitzen.

Der Realteil 1/2 lässt sich über n(n-1)/2 auf die Quadratzahlen zurückführen. Hierbei ist überall eine 6er-Symmetrie wirksam, die immer bei Quadratzahlen in Erscheinung tritt.

Die Riemannsche Vermutung beruht auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation. Da Euler diese bewiesen hat, hat er damit den Geniestreich seines Lebens geliefert, den Beweis für die Riemannsche Vermutung.

Das unendliche Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Ergebnis des Grenzwerts π²/6 (=1,644934...) hat nämlich ein Pendant bei den Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus 1/(n²/(n²-1)) bzw. (n²-1)/ mit dem Grenzwert 1/2.

Diese Formel stellt einen Bezug her zwischen Quadratzahlen und höheren Potenzen, der auf der 6-er-Symmetrie basiert. Somit ist auch das aus ihr hervorgehende Produkt die Grundlage für jede Symmetrie zur Zahl 6, der auch die Primzahlen unterliegen mit dem unendlichen Produkt aus p²/(p²-1).

Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion besitzen den Realteil 1/2 laut der Riemannsche Vermutung. Somit zeigt diese Formel den Beweis, weil n²-1 seinen Ursprung in der Änderung der Gaußschen Summenformel hat.

Der Realteil 1/2 wird so zu seinem Ursprung zurückgeführt, dorthin, wo alles angefangen hat, bei n(n-1)/2.

Und das hat bei n(n+1)/2 angefangen. Gauß lässt grüßen. Der Kreis hat sich geschlossen.

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