Beweis der Riemannschen Vermutung mit Formel für Primsummanden

Das Pendant zur Primfaktorzerlegung ist die Primsummandzerlegung als Darstellung einer natürlichen Zahl n als Summe der aus der Formel 2a + Wurzel (3a² + 1) hervorgehenden Primsummanden, deren erstrangige Anwendung in absteigender Folge Eindeutigkeit bewirkt. Dabei bildet die Primsummandfunktion ebenfalls "Nullstellen" auf einer Geraden mit "Realteil" 1/2 mit den "ungeraden" Primsummanden aus dem Verhältnis jedes Primsummanden n zu der Summe aller Primsummanden bis n, analog zu den nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion mit Realteil 1/2Aufgrund der Analogie zwischen den Primsummanden und den natürlichen Zahlen sind auch die Primzahlen an den "Realteil" 1/2 der Primsummanden gebunden. Da zwischen den komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion und den Primzahlen ebenfalls ein Zusammenhang besteht, zeigt die Parallelstruktur der Primsummandfunktion, dass die komplexen Nullstellen nur auf der Geraden mit Realteil 1/2 liegen können. Und somit ist die Riemannsche Vermutung bewiesen allein auf Grundlage der natürlichen Zahlen!

So wie die Zetafunktion den additiven Aspekt der natürlichen Zahlen und den multiplikativen Aspekt der Primzahlen in der Form einer Summen- bzw. Produktformel zeigt, tut es auch die Formel für Primsummanden mit den ersten zwei Primzahlen 2 und 3 und mit zwei Quadratwurzeln.

Die von Riemann gefundene Landschaft, die sich über die gesamte Karte der komplexen Zahlen erstreckt, offenbart alles an den Orten, bei denen die Funktion das Ergebnis Null gibt, die Nullstellen der Zeta-Funktion.

Aus den "Nullstellen" der Primsummandfunktion, den "ungeraden" Primsummanden ohne ggT zu vorhergenden Primsummanden, können ebenfalls alle anderen Primsummanden abgeleitet werden.

Die Primsummanden können gemäß der Struktur ihrer Formel in zwei Mengen mit ungerader Position (Summe aller Primsummanden bis n) und gerader Position (3a² + 1 aus dieser Summe) geteilt werden.

Die "ungerade" Menge wurde 1964 von N. J. A. Sloane (Homepage) als Spezial-Fall der Lucas-Folgen gefunden und besteht aus Hyperprimfaktoren. So ist z. B. von Primfaktor 5 der Hyperprimfaktor 11 x 19.

"Gerade" Primsummanden werden auch aus Wurzel (3a² + 1) und Wurzel aus Wurzel (3a² + 1) - 1 gebildet und sind bei Primzahlen immer ganzzahlig wie z. B. 362 mit 19 von Hyperprimfaktor 11 x 19.

Das Hypermuster der Primzahlverteilung entsteht durch die Differenzen und Summen "ungerader" Primsummanden, die Faktor bildend sind für nachfolgende "ungerade" Primsummanden. So sind z. B. von dem "ungeraden" Primsummanden 209 der erste Faktor die Subtraktion 15 - 4 = 11 und der zweite Faktor die Addition 15 + 4 = 19. Auf diese Art und Weise bestimmen die einer natürlichen Zahl n zugehörigen Werte die Primalität von 2n - 1.

Des Weiteren sind "ungerade" Primsummanden immer 1/2 der Differenz der Summe ihrer beiden Vorgänger und der Summe ihrer selbst und ihres Nachfolgers.

Des Weiteren ist das 4-fache der 1/2-Bildner abzüglich ihres Vorgängers immer ihr Nachfolger.

oeis.org: a(n) = 4*a(n-1) - a(n-2) mit a(0) = 0, a(1) = 1

Analogie zwischen Addition und Multiplikation

Jedes Primsummandpaar bildet durch Multiplikation in verdoppelter Vielfachfolge die Werte der "ungeraden" Primsummanden wie z. B. 15 · 26 = 390 · 2 = 780, 780 · 1351 = 1053780 · 2 = 2107560,  2107560 · 3650401 = 7693439131560 usw.

Alle Primsummanden als additiv gebildete 1/2-Bildner zeigen sich nach diesem Gesetz als multiplikative 1/2-Bildner.

Deshalb zeigt sich hier die perfekte Symbiose von Addition und Multiplikation.

Leonhard Euler hat als Erster die Verbindung der Zeta-Funktion zu den Primzahlen entdeckt. Aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sind Primzahlen sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen. Das Erstaunliche an dem nach Euler benannten Euler-Produkt ist dessen Darstellung der einfachen Identität zwischen den "chaotischen" Primzahlen und einer wohlgeordneten Reihe. Es lässt sich als analytische Version des Gesetzes der eindeutigen Primfaktorzerlegung interpretieren. Dieses Gesetz findet auch in der Formel für Primsummanden Anwendung, weshalb diese die Verbindung zwischen Addition und Multiplikation auf eine neue faszinierende Art und Weise zeigt.

Marcus du Sautoy schreibt in Die Musik der Primzahlen: "Riemann fand eine komplette Landschaft, die sich über die gesamte Karte der komplexen Zahlen erstreckte. Sobald ein "komplexer" Landschaftskartograph auch nur ein winziges Gebiet einer komplexen Landschaft gezeichnet hatte, konnte man daraus den Rest der gesamten Landschaft rekonstruieren. Riemann hatte entdeckt, dass die Berge und Täler in einem Bereich der Landschaft wichtige Informationen über die Topographie der gesamten Landschaft enthielten. Das entbehrt weitgehend jeder Anschauung."

Hier kommt Leopold Kronecker ins Spiel: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." Mit Startwert 0 erzeugt die Formel für Primsummanden nur natürliche Zahlen und bietet damit die einfachste überhaupt nur denkbare Anschauung. Aus einem "ungeraden" Primsummanden können alle anderen abgeleitet werden.

Wikipedia: "All diesen Ideen liegt eine Analogie zugrunde, die sich vereinfacht etwa so beschreiben lässt: Die Primzahlen sind "Elementarteilchen", die über die Multiplikation in Wechselwirkung treten und so die zusammengesetzten Zahlen aufbauen. Gleichzeitig werden die "Teilchen" durch die Addition angeordnet. In der Zeta-Funktion werden nun in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv/natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden."

http://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis

  • "Die höchste Form des reinen Denkens findet sich in der Mathematik." (Platon)
  • "Die Zahl ist das Wesen aller Dinge." (Pythagoras)
  • "Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen." (Galilei)
  • "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." (Leopold Kronecker)
  • "Zeit ist die Zahl der Bewegung hinsichtlich des davor und danach." (Aristoteles)
  • "Ein Pfeil bewegt sich nicht. Er ändert lediglich seinen Ort." (Zenon)
  • "Die tiefsten Erkenntnisse erreicht man nur durch höchste Sammlung des Geistes. Worte reichen nicht hinunter in diese letzten Gründe, nur intuitive Erleuchtung hilft zum Verständnis." (Konfuzius)
  • "Die Meister beobachten die Welt, vertrauen aber ihrer inneren Sehkraft. Sie lassen die Dinge kommen und gehen. Ihr Herz ist offen wie der Himmel." (Laotse)

Zahlen als transzendente Grundlage zur immanenten Anwendung beim Aufbau der Struktur von Raum und Zeit

"Alle Elementargrößen und überhaupt alle entscheidenden Größen des Weltalls sind vom Ursprung her bestimmt. Damit sind Elementarmasse, Elementarlänge  und Elementarzeit als kosmische Elementar-Einheiten gegeben. Darin liegt auch das Geheimnis begründet, warum die Naturkonstanten c und h diejenigen Zahlenwerte besitzen, die sie eben besitzen: sie sind im absoluten Ur-Maßsystem einfach alle 1; weil und wie Elementarmasse, Elementarlänge und Elementarzeit je gleich 1 sind.

Warum diese Elementar-Einheiten der Länge (Raum), Masse (Energie) und Dauer (Zeit) etwa in unserem Zentimeter-Gramm-Sekunden-Maßsystem so krumme Zahlenwerte besitzen, ist gar keine physikalische, sondern nur eine historische Frage: warum die Menschen miteinander übereingekommen sind, den 1 000 000 000sten Teil des Erdquadranten als Längen-Einheit "Zentimeter" (cm), die Menge von einem Kubik-Zentimeter Wasser als Massen-Einheit "Gramm" (g), den 24·60·60sten Teil einer Erdumdrehung als Zeit-Einheit "Sekunde" (sec) fiktiv festzulegen - und alles in diesem "c-g-s-System" auszudrücken.

Wichtige Probleme der Physik lösen sich oft ganz von selbst, wenn man sie nur in den kosmischen Elementareinheiten des Ur-Maßsystems ausdrückt, also in Größen mit der natürlichen 1-Wertigkeit."

(Bernhard Philbert, DER DREIEINE, Seite 263)

Zahlen sind Werkzeuge geistig-transzendenter Naturgesetze zur Struktur der Welt. Transzendente Baupläne (Ideen) sind die Grundlage der Verwirklichung immanenter Größen in der Natur.

Zahl 1 - Grundlage für 1-Wertigkeit und Primalität

Im Kehrwert codiert eine Zahl ihre Primalität über die Periodenlänge, die als Einfache oder Vielfache zu Zahlen mit gleichen Primfaktoren führt. Mit diesem Code findet eine Primzahl sich selbst als ggT als erste folgende Zahl ihrer Periodenlänge oder eines der Vielfachen ihrer Periodenlänge. Fehlt die Primalität, finden sich nur Zahlen mit gleichen Primfaktoren. Die Teilbarkeiten der Periodenlängen ergeben sich aus dem kleinen Fermat. Grundlage ist die Kongruenz in der Zahlentheorie.

Die gesuchte Formel zur Berechnung der Primzahlen gleicht der Suche nach einem Phantom, weil die Primalität jeder Primzahl ein einzigartiges Muster darstellt, das im Zusammenhang mit allen anderen Primzahlen deren Abfolge bestimmt und ein Hypermuster erzeugt, welches in keine Formel gefasst werden kann. In diesem wächst die Mathematik gleichsam über sich selbst hinaus und verschließt sich den Weg, dieses in einer Formel auszudrücken. Das Sieb des Eratosthenes zeigt, dass eine neue Primzahl sich immer als Lücke der Vielfachen der ihr vorausgegangenen Primzahlen findet.

Die Ordnung der Primzahlen - Gesetz des faktoriellen Grenzwerts

Diese Lücken-Logik ist fraktal und steuert die Primzahlenverteilung über Grenzwerte als angestrebte Proportionalitätsfaktoren im Gesetz des faktoriellen Grenzwerts. Dieses bildet für alle auftretenden Mengenverhältnisse von Primzahlen in faktoriell erweiterten Zahlenräumen Grenzwerte, die sich einem angewandten Faktor nähern. Bei Faktor 2 stehen die bis 573.259.391 auftretenden 30.000.000 Primzahlen den bis 1.146.518.782 auftretenden 57.893.494 im Verhältnis 1,9297831333333...

Die mit zunehmender Größe seltener werdenden Primzahlen treten in faktoriell erweiterten Zahlenräumen immer öfters auf. Aus einer Konvergenz gegen Null entsteht eine Konvergenz gegen unendlich.

Besonders danke ich Dr. J. Volkmar Schmidt, dessen Software HACKY mir eine sehr große Hilfe war beim Erkunden der Welt der Primzahlen. HACKY ist ein sehr schnelles und effizientes Werkzeug, um Primzahlen zu generieren und zu prüfen.

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Leonhard Euler: Summe der reziproken Quadratzahlen = Produkt der Primzahlen = Grenzwert π²/6 (=1,644934...).

 Vom Punkt zur Kugel

Da die Summe und das Produkt π²/6 sind, hat eine Kugel mit dem Durchmesser 3. Wurzel von π ein Volumen von π²/6 und stellt geometrisch die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen dar.

Die Kreiszahl π zeigt damit ihr ureigenstes Wesen: die Bestimmung des Volumens einer Kugel.

Indem sie als Kubik auftritt, stellt sie den Bezug eines Punktes als Elementarvolumen im Verhältnis zur Unendlichkeit des Raumes her und weist gleichzeitig durch ihr Auftreten als Quadrat auf das mit diesem Volumen zusammenhängende Wachstum der Kugeloberfläche mit dem Quadrat des Abstands zum Kugelmittelpunkt und auf die reziproke Abnahme einer physikalischen Größe (Abstandsgesetz) hin.

Dies bestätigt die intuitive Erkenntnis des Parmenides aus Elea, dass alles der Vollkommenheit einer Kugel entspricht.

Zenon von Elea zeigte mit den Paradoxa der Bewegung (Pfeilparadoxon, Achilles und die Schildkröte) die Diskretheit als Grundlage von Raum, Bewegung, Zeit und Quantentheorie. Hier begegnen sich die 1. und die 3. Dimension, indem ein Punkt der Größe 1 durch Ausbreitung in die 3. Dimension den Raum einer Kugel mit dem Volumen π²/6 bildet, die zum Synonym für alle Punkte wird, die als Vielfache die mathematische Grundlage für die Unendlichkeit des Raumes und der darin stattfindenden Bewegung bilden. Die 1. Dimension verwirklicht sich in der 3. Dimension. Hier findet sie ihre Bestimmung, ihr Ziel und ihre Vollendung. Der Raum als Ort wird zum Spiel-Feld der Zahlen über die Mathematik der Geometrie. Die der Ordnungsstruktur der Zahlen zu Grunde liegende Transzendenz wird bei der Strukturbildung physikalischer Phänomene durch Naturgesetze immanent angewandt. Qualitäten werden über geometrische Größen und Naturkonstanten gebildet. Die Zeit ist zusätzliche Dimension für die Dynamik des Geschehens.

Die von Mathematikern gesuchte Bedeutung hinter den Primzahlen findet sich in der Volumenformel für eine Kugel. Über den Fundamentalsatz der Arithmetik bilden die Primzahlen die Grundlage für die Unendlichkeit der Zahlen als transzendente Voraussetzung für die immanente Anwendung in der Unendlichkeit des Raumes und den darin stattfindenden Prozessen.

π²/6 ist ein Universalcode, der dem Raum und der Bewegung zu Grunde liegt.

Die Bedeutung der Quadratzahlen zeigt die Ulam-Spirale. 2 Geraden mit den jeweils geraden und ungeraden Quadratzahlen treffen sich in der 1 als Mittelpunkt und teilen die Ulam-Spirale in 2 gleichseitige Hälften. Ab der Primzahl 3 liegen alle Quadratzahlen und somit auch die Quadrate der "chaotischen" Primzahlen auf der Geraden mit den ungeraden Quadratzahlen.





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Großer Satz von Fermat: aⁿ + bⁿ ≠ cⁿ für a, b, c, n ϵ N mit n > 2

Fermat hat sich nicht geirrt. Sein in seinem Exemplar der Arithmetica des Diophantos von Alexandria angeführter Beweis für die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen für Potenzen höher 2 beim Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Änderung der Gaußschen Summenformel in n(n-1)/2, deren Summen die Dreieckszahlen bis n-1 als Faktor 6 für jedes n ergeben. Die besonderen Eigenschaften der Faktoren 6 sind die Grundlage für Fermats einfachen Beweis.

Durch die Addition zweier dritter Potenzen wird die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen verlassen, weil der Faktor 6 eines n1 auch in der 3. Potenz eines n2 enthalten ist. Somit ist eine Addition von vorneherein ausgeschlossen!

Gemäß dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist die Primfaktorzerlegung eindeutig auf Grund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Diese wird bei der Faktor-6-Zerlegung über die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen auf die Addition angewendet.

Aus den möglichen Additionen der Faktoren 6 einer Zahl n geht hervor, dass gleiche Faktoren 6 nicht bildbar sind. Das Beispiel anhand der 19 zeigt: Die Summen der Faktoren 6 (Spalte 5) geteilt durch 19 ergeben durch ihre Differenzen die Reihe der natürlichen Zahlen. Excel-Tabelle zur Berechnung der möglichen Faktor-6-Kombinationen bei a³ + b³ = c³



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Analogie zwischen Addition und Multiplikation

n(n-1)/2 (Quadrat) bewirkt eine Äquivalenz zu n(n²-1) (Kubik) über den Faktor 6. Grundlage ist n(n-1)/2 · 2 + n = . Faktoren 6 werden additiv gebildet wegen der Analogie zwischen Addition (Quadrat) und Multiplikation (Kubik), die Euler (Summe und Produkt) nachgewiesen hat mit dem Grenzwert π²/6.

Dreieckszahlen ergeben sich auch aus n(n²-1)/6, einer Ableitung aus der Formel für Kuben: n(n²-1) + n. Dies begründet die 6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen höheren Potenzen.










Auffallend bei folgenden Beispielen ist, dass wenn F6 (a) + F6 (b) = F6 (c), a + b - c immer gleich a³ + b³ - c³ ist. Warum wohl?


Da die Faktoren 6 auch über die Multiplikation von n(n²-1) aus der Formel für Kuben berechnet werden können, besteht ein Zusammenhang zur Addition über n(n-1)/2. Die Addition wiederum steht im Zusammenhang mit den Quadratzahlen über n(n-1)/2 · 2 + n = , die mit dem unendlichen Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Grenzwert π²/6 (=1,644934...) im Zusammenhang stehen.

Zu guter Letzt bilden die Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus (n²-1)/n² den Grenzwert 1/2, der die Grundlage für den Beweis der Riemannschen Vermutung ist, die auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation beruht und davon ausgeht, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil 1/2 besitzen.

Der Realteil 1/2 lässt sich über n(n-1)/2 auf die Quadratzahlen zurückführen. Hierbei ist überall eine 6er-Symmetrie wirksam, die immer bei Quadratzahlen in Erscheinung tritt.

Die Riemannsche Vermutung beruht auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation. Da Euler diese bewiesen hat, hat er damit den Geniestreich seines Lebens geliefert, den Beweis für die Riemannsche Vermutung.

Das unendliche Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Ergebnis des Grenzwerts π²/6 (=1,644934...) hat nämlich ein Pendant bei den Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus 1/(n²/(n²-1)) bzw. (n²-1)/ mit dem Grenzwert 1/2.

Diese Formel stellt einen Bezug her zwischen Quadratzahlen und höheren Potenzen, der auf der 6-er-Symmetrie basiert. Somit ist auch das aus ihr hervorgehende Produkt die Grundlage für jede Symmetrie zur Zahl 6, der auch die Primzahlen unterliegen mit dem unendlichen Produkt aus p²/(p²-1).

Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besitzen den Realteil 1/2 laut der Riemannsche Vermutung. Somit zeigt diese Formel den Beweis, weil n²-1 seinen Ursprung in der Änderung der Gaußschen Summenformel hat.

Der Realteil 1/2 wird so zu seinem Ursprung zurückgeführt, dorthin, wo alles angefangen hat, bei n(n-1)/2.

Und das hat bei n(n+1)/2 angefangen. Gauß lässt grüßen. Der Kreis hat sich geschlossen.

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