Parmenides, angelangt am "Tor der Pfade von Tag und Nacht" aufgrund seines Wandels fernab von den üblichen Pfaden der Menschen, wird offenbart, dass es nur Seiendes gibt, das ewig, unteilbar, unendlich, ganz und vollkommen ist. Deshalb gibt es kein Werden und Entstehen, keine Veränderung und Zerstörung. Veränderung ist purer Schein. Denken und Sein sind das Selbe.

Was erscheint mit einem Anfang und einer Dauer an gleichen oder verschiedenen Orten mit gleichen oder sich ändernden Eigenschaften scheint nur so. Erscheinungen sind Attribute des Seins, die in Raum und Zeit als Wirkung in Erscheinung treten.

Platon sieht die Idee als Emanation des Geistes und Schopenhauer die Materie (Wirkung = Welt) als Emanation der Idee (Wille und Vorstellung). Der Geist ist das Format und bringt seine Ideen in Form als Information. Der Geist ist das verursachende Sein, seine Attribute sind das Erscheinende (Bewirkte). Der Geist ist ewig, seine Attribute treten zeitlich in Erscheinung.

"Alles, was überhaupt geworden ist, alles, was erscheint, ist Symbol, ist Ausdruck einer Seele. Alles Vergängliche ist nur ein Gleichnis.

Zur Naturerkenntnis kann man erzogen werden, der Geschichtskenner wird geboren. Er begreift und durchdringt die Menschen und Tatsachen mit einem Schlage, aus einem Gefühl heraus, das man nicht lernt, das jeder absichtlichen Einwirkung entzogen ist, das in seiner höchsten Kraft sich selten genug einstellt."

Oswald Spengler in Der Untergang des Abendlandes

Die allem zu Grunde liegende Realität (Ur-Sache) wird auch mit der Theorie vom Nullpunkt-Feld erklärt.

Einstein sagte: "Das Feld ist unsere einzige Wirklichkeit", was Parmenides einfach als Seiendes bezeichnet hat.

"Ich habe geglaubt, dass die Philosophen Konsequenzen aus der Atomphysik auf die lange Sicht wohl noch mehr verändern werden als die technischen Konsequenzen. Sie wissen ja, dass durch die Atomphysik und durch das, was man in ihr gelernt hat, sehr allgemeine Probleme anders aussehen als früher, etwa das Verhältnis von Naturwissenschaft zur Religion, allgemeiner zur Weltanschauung. Das sieht jetzt anders aus, seit wir wissen, dass selbst in der Atomphysik die Beziehung zwischen Subjekt und Objekt nicht mehr so einfach aussieht, wie in der klassischen Physik." Werner Heisenberg

"Wie die Quantenphysik zeigt, existiert die Welt nicht unabhängig von uns, sondern wir sind Mitschöpfer unserer Wirklichkeit. Die Elementarteilchen der Materie erscheinen je nach Betrachtung einmal als begrenztes Teilchen und einmal als sich ausdehnende Welle. Bei genauem Hinsehen trifft das auch auf uns Menschen zu. Wir sind unabhängige Individuen, vergleichbar den Teilchen. Wenn wir aber auf die Wirkung schauen, die von unseren Handlungen ausgeht, dann sind auch wir vergleichbar mit Wellen. Jede unserer Handlungen breitet sich wie eine Welle aus in Raum und Zeit."

"Wenn wir hier sagen, wir sind lokalisiert, ich sitze hier, sie sitzen da und so fort, das ist eigenlich nicht wahr. Das, was im Hintergrund ist, ist unendlich ausgedehnt. Es hat nichts mit einer Wechselwirkung zu tun. Aber zu sagen, ich bin nur hier und nirgends sonst in der Welt, das ist ein Approximation (Annäherung). Und das ist doch ein großer Unterschied, dass ich also nicht durch Wechselwirkung mit dem andern in Verbindung bin, sondern Ich und Du ist eigentlich das Selbe. Und es ist nur, wo ich sozusagen das Gewicht lege, dass ich einmal vom andern spreche, also vom andern als mir selbst." Hans-Peter Dürr

"Werner Heisenberg hat die winzigsten Teile der Materie erforscht. Auf dem Weg zu seiner Quantenmechanik hat er auch gelernt, das Ganze in den Blick zu bekommen, das uns alle zu einer Einheit verbindet. "Der Teil und das Ganze" ist auch der Titel seiner Autobiografie. Sie endet mit einer Erinnerung an Beethovens Serenade in D-Dur."

"In ihr verdichtete sich für mich beim Zuhören die Gewissheit, dass es in menschlichen Zeitmaßen gemessen immer weitergehen wird, das Leben, die Musik, die Wissenschaft, auch wenn wir selbst nur für kurze Zeit mitwirken können, nach Nils Bohrs Worten immer zugleich Zuschauer und Mitspieler im großen Drama des Lebens."

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Wer sich für die Naturgesetze interessiert, stößt unweigerlich auf die Frage nach der Natur von Raum und Zeit. Der Raum führt zur kleinsten Größe, Länge und Entfernung, die nicht mehr unterschritten werden kann.

Die Elementarlänge löst das Pfeil-Paradoxon und das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte des Zenon von Elea.

Elementarlänge

Zenon gab mit dem Pfeilparadoxon interessante Hinweise für die theoretische Betrachtung von Raum, Bewegung und Zeit. Er behauptet, dass ein fliegender Pfeil sich zu jedem Zeitpunkt auf seiner Flugbahn an einem bestimmten Ort befindet und sich deshalb nicht bewegen kann, also in Ruhe ist.

Im Gegensatz hierzu besagt die Quantenmechanik, dass der Pfeil in Ruhe überhaupt keine definierbare Geschwindigkeit hat. Ohne es zu ahnen, hat Zenon damit die Quantenmechanik erweitert, indem er die Geschwindigkeit mit Null und den Ort als etwas Diskretes im Raum (Elementarlänge) definiert hat, das keine Bewegung zulässt. Daraus kann geschlossen werden, dass Bewegung nicht kontinuierlich stattfindet, sondern diskret, und sich somit das Paradoxon der Bewegung auflöst.

Eine der wichtigsten Erkenntnisse aus Einsteins Relativitätstheorie ist, dass es nur Gegenwart als ein Jetzt gibt, das an jedem Ort gleichzeitig in Ruhe passiert. Relativität ergibt sich lediglich aus verschiedenen Lichtlaufdauern!

Die Grundlage der Zeit

Alle Orte auf einer Strecke werden diskret passiert mit einer bestimmten Verweildauer. Diese bildet die Grundlage der Zeit. Zwischenzustände sind nicht erlaubt. Der Ortswechsel eines Objekts als Zustandsänderung erfolgt unverzüglich. Dieser augenblickliche Übergang stellt, analog zum Quantensprung (Quantenübergang), einen Ortssprung (Ortsübergang) dar.

Damit ist der Wechsel vom Mesokosmos in den Mikrokosmos vollzogen. Die Perspektive der Quantenphysik ermöglicht eine neue Sicht der Dinge und die Lösung von Problemen, die mit der klassischen Physik unlösbar sind. Mit der Entdeckung des Planckschen Wirkungsquantums war eine neue fundamentale Naturkonstante mit der natürlichen 1-Wertigkeit gefunden.

Liegt Aristoteles falsch, wenn er sagt, dass Zeit Zahl an der Bewegung ist? Auch wenn der Pfeil zu jedem Zeitpunkt während seines Fluges sich an einem Ort und somit immer in Ruhe befindet, ergibt sich die Zeit aus der Summe der Verweildauern an den passierten diskreten Orten. Und diese Verweildauern wiederum scheinen nach Elementarzeit = h/mc² (Quanten der Zeit) getaktet zu sein, die die Grundlage der Zeit und somit der Gegenwart bilden.

Vergangenheit, Zukunft und Gegenwart sind nur in der Gegenwart möglich und gegenwärtig, die Zukunft als noch nicht, die Gegenwart als jetzt und die Vergangenheit als nicht mehr. Jede Art von Gegenwart und Sein im Jetzt kann also nur das sein, was durch "noch nicht" und "nicht mehr" entsteht und begrenzt wird, gleichsam eingeschlossen und abgegrenzt wird. Und das wird als Dauer oder Elementarzeit bezeichnet. Wir sollten uns also von der Vorstellung verabschieden, dass es so etwas wie einen Zeitpunkt gibt. Vielmehr ist es angebracht, von kleinstmöglichen Zeitfenstern zu reden, die von der Elementarzeit repräsentiert werden.

Für Einstein war die Scheidung zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft nur eine Illusion. Physikalisch ist das jedoch nicht haltbar. Und so hat er es vermutlich auch nicht gemeint, sondern wie ein anderer Denker bereits vor ihm, dass nämlich das Sprichwort gilt: "Jetzt ist Ewigkeit." Was Einstein wohl zur Diskretheit des Raumes sagen würde? Schließlich lässt ein diskreter Ort eine Krümmung des Raumes nicht zu. Zwar fasste er den wesentlichen Gehalt der Relativitätstheorie mit dem Begriff "Gekrümmte Raumzeit" zusammen, bemerkte aber hierzu: "Nicht Gott ist relativ, und nicht das Sein, sondern unser Denken."

Die moderne Physik geht von der Annahme aus, dass der Baustoff der Welt diskret sein muss. Betrachtet man unter diesem Aspekt das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte, ist auch dieses gelöst, wenn Bewegung diskret in Form von Ortsübergängen stattfindet.

Links zum Thema

Über die Zeit - Spektrum der Wissenschaft - Serie: Die Geburt des Universums  

Zeit ist nur eine Illusion - FOCUS - Physik 

Tausend Körnchen Gegenwart - DIE ZEIT - Physik 

Schildkröte vorn - Zeit als Intervalle - Dr. Robert Ehrlich - Spiegel - Forschung

Die Abschaffung der Zeit - FAZ - Quantengravitation

Quantelung von Raum und Zeit - FAZ - Weltformel

Was ist Information? - FOCUS

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Was hat Bewegung mit der Elementarlänge und der Zeit zu tun?

Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher: "Manchmal fragt man sich schon, wie es kommt, dass man durch scheinbar logische Gedankengänge eher verwirrt wird, als Klarheit bekommt. Einer der großen Verwirrer der Menschheitsgeschichte war Zenon von Elea, der etwa 400 vor Christus lebte. Diesem Lügenbaron der Antike verdanken wir die wunderbare Geschichte von Achilles und der Schildkröte."

Ob Zenon tatsächlich ein Lügenbaron war, darf bezweifelt werden. Jeder Mensch läuft Gefahr, zum Lügenbaron zu werden, wenn er sich seiner Überzeugungen allzu gewiss ist. Auch wenn die frühen Denker nicht auf das Wissen der modernen Physik zurückgreifen konnten, war ihr Denken oft genial und möglicherweise näher an der Wahrheit als die modernen Denkgebäude.

Das Wissen hat seit damals unglaublich zugenommen. Umso mehr hat man heutzutage oft den Eindruck, dass der Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen wird. So ist keinesfalls sicher, ob Beutelspacher nicht auch, wenn auch unbeabsichtigt, zum Lügenbaron wird. Was er als "scheinbar logische Gedankengänge" bezeichnet, scheint aus der Perspektive der modernen Physik logisch zu sein.

Es geht beim Paradoxon von Achilles und der Schildkröte um einen Laufwettbewerb, bei dem eine Schildkröte einen Vorsprung bekommt, durch den scheinbar eine unendliche Reihe von immer kleiner werdenden Vorsprüngen entsteht, weil die Schildkröte immer einen neuen Vorsprung erlangt in der Zeit, die Achilles benötigt, um die Strecke bis zu dem davor liegenden Vorsprung zu erreichen. Daraus wird der Schluss gezogen, dass Achilles die Schildkröte niemals wird einholen können.

Wir wissen aber, dass er die Schildkröte nach kurzer Zeit einholt. Deshalb wird der logisch richtige Schluss als Trugschluss bezeichnet und als Paradoxon betrachtet. Was nun? Spätestens jetzt sollten wir uns ernsthaft fragen, wo sich in dieser Denkweise ein Fehler eingeschlichen hat. Dieser könnte doch in der Annahme falscher Voraussetzungen bestehen.

Des Weiteren sagt Beutelspacher: "Es geht darum, dass wir hier sozusagen unendlich viele Zahlen zusammenrechnen."

Diesen Schluss zieht er aus den unendlich oft entstehenden neuen Vorsprüngen. Geht es aber wirklich um unendlich viele Vorsprünge? Diese Frage kann offensichtlich überhaupt nicht beantwortet werden, weil die Physik (noch) keine Methode zur Messung dieser Unendlichkeit zur Verfügung stellt. So bleibt nur die theoretische Physik, um durch logisches Schlussfolgern eine korrekte Antwort zu finden.

Die Überwindung der Vorstellung einer Annäherung an eine Asymptote in der Unendlichkeit bei Betrachtungen zur Bewegung gelingt mit der Quantelung. Mit Unendlichkeiten kann nicht gerechnet werden. Grenzwerte sind interpoliert. Die reale Welt bringt immer Endlichkeiten in einer Unendlichkeit zum Ausdruck. Quantelung ist die Logik einer Zahlenfolge bezogen auf die Endlichkeit und eine invariante Eigenschaft der auf Bewegung angewandten Zahlen. Die Annäherung an eine Asymptote beschränkt sich auf die Logik einer Zahlenfolge in der Endlichkeit. Mathematik ist also die Darstellung von Beziehungen endlicher Größen. Macht sie Aussagen über Unendlichkeiten, bekommen diese einen transzendenten Charakter.

Die Frage nach Raum, Bewegung und Zeit führt zum Ort eines Geschehens und dessen Definition. Dies zeigt sich auch durch die Überlegungen des Zenon von Elea.

Albrecht Beutelspachers Kleines Mathematikum:

"Wie kann man Bewegung mathematisch verstehen? Zenon von Elea (490 - 430 v. Chr.) hat sich nicht nur die Geschichte von Achilles und der Schildkröte ausgedacht, sondern auch "bewiesen", dass es keine Bewegung geben kann.

Dieser Beweis hat die Menschen 2000 Jahre lang erheblich verwirrt. Die Behauptung ist: Ein Pfeil - damals das Schnellste, was man sich vorstellen konnte - kann nicht fliegen. Beweis: Stellen wir uns einen fliegenden Pfeil vor. Vermutlich sagte Zenon, "einen scheinbar fliegenden Pfeil". Diesen Pfeil betrachten wir in einem Augenblick, das heißt zu einem Zeitpunkt. Zu diesem Zeitpunkt kann der Pfeil nicht fliegen, denn auch der schnellste Pfeil braucht für die kürzeste Strecke eine gewisse Zeitdauer - mehr, als ihm ein Zeitpunkt zur Verfügung stellt. Daher kann der Pfeil zu diesem Zeitpunkt nicht fliegen, also kann er zu keinem Zeitpunkt fliegen. Also fliegt er nicht.

Sie merken: Man hat zwar den Eindruck, einem gemeinen Taschenspielertrick aufgesessen zu sein - aber es ist ausgesprochen schwierig, die Schwachstelle dieser Argumentation auszumachen.

Den Knoten hat eigentlich erst Isaac Newton (1643 - 1727) durchschlagen. Er sieht die Situation ganz anders als Zenon.  

Newton schreibt: "Ich betrachte hier die mathematischen Größen nicht aus überaus kleinen Teilen zusammengesetzt, sondern durch eine fortwährende Bewegung erzeugt. Geraden werden nicht durch das Nebeneinandersetzen von Punkten beschrieben, sondern durch eine fortwährende Bewegung von Punkten erzeugt . . . Diese Erzeugungen wurzeln in der Natur und können tagtäglich in der Bewegung von Körpern gesehen werden."

Newtons Gedanke ist radikal: Zum Zustand eines sich bewegenden Objekts gehört nicht nur sein Ort, sondern auch seine Geschwindigkeit, also Richtung und Stärke seiner Bewegung. Es reicht also nicht, viele Fotos zu machen, die jeweils den Ort in einem Moment beschreiben, sondern zu jedem Ort gehört auch die Momentanbewegung.

Auch in einem Punkt ist Bewegung angelegt. Zu keinem Zeitpunkt steht das sich bewegende Objekt still, sondern es hat eine Momentanbewegung. Dieser Gedanke ist philosophisch anstrengend, aber anschaulich klar: Ein fliegender Pfeil hat in jedem Zeitpunkt eine Geschwindigkeit, eine Bewegungsrichtung und eine Bewegungsintensität. Für den Physiker Newton ist das selbstverständlich: Das kann ". . . tagtäglich in der Bewegung von Körpern gesehen werden".

Doch was sehen wir tatsächlich? Newton dachte vermutlich falsch.

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https://www.uni-heidelberg.de/uni/presse/RuCa3_97/cuntz.htm

Neue Raumvorstellungen in der Mathematik

Wozu ist die theoretische Mathematik gut? In der Öffentlichkeit hört man nur wenig über die Ergebnisse und Erfolge der Mathematik. Dadurch entsteht manchmal der abwegige Eindruck, in der Mathematik gebe es nur noch wenig Entwicklung, alles wesentliche sei schon bekannt oder es käme vielleicht nur noch darauf an, einige schon seit langem bekannte Probleme zu lösen. Ein Grund, warum so wenig an die Öffentlichkeit dringt, ist paradoxerweise gerade der schnelle Fortschritt und der große Erfolg der mathematischen Methoden. Joachim Cuntz vom Mathematischen Institut erklärt, worin er besteht.

Die mathematischen Techniken sind so hochentwickelt, daß es extrem schwierig ist, sie einem Nichtfachmann auch nur ansatzweise verständlich zu machen. Aus ähnlichen Gründen ist die Frage nach dem Nutzen der Mathematik und insbesondere der "Reinen" Mathematik schwer zu beantworten. Es besteht daher selbst in der informierten Öffentlichkeit Unklarheit über die Rolle der modernen Mathematik – und das zu einer Zeit, in der alle Bereiche der Wissenschaft und des täglichen Lebens immer unaufhaltsamer von Methoden und Denkweisen, die aus der Mathematik kommen, durchdrungen werden. Wir wollen daher erst einmal einige Abschnitte dem Versuch widmen, das Wesen und die Ziele der modernen Mathematik zu erläutern.

Die eigentümliche Vorgehensweise der Mathematik besteht darin, Gedankenexperimente durchzuführen. Der Ausgangspunkt dabei sind Abstraktionen von Operationen, die in der Wirklichkeit real durchgeführt werden können. Dies ist eine menschliche Fähigkeit, an die wir uns so gewöhnt haben, daß wir sie kaum mehr zur Kenntnis nehmen.

Ein Kind, das einen Turm aus Spielbausteinen errichten will, muß lernen, wie die Steine zu platzieren sind, damit der Turm nicht gleich einstürzt. Nach einiger Übung kann dies in der Vorstellung vorweggenommen werden, ohne die Steine real zu bewegen. Auf einer etwas höheren (oder manchmal auch niedrigeren) Ebene ist diese Technik die Grundlage für die meisten unserer Entscheidungen. Wir spielen in Gedanken die Konsequenzen einer Handlung durch und entscheiden uns dann für die, deren Resultat unseren Wünschen wahrscheinlich am nächsten kommt.

Auch der Begriff der Zahl ist eine Abstraktion von solchen gedanklichen Operationen.

Das Experimentierlabor des Geistes

Die interessantesten Aspekte der Mathematik sind aber die, die diese "alltäglichen" Anwendungen transzendieren und Operationen untersuchen, die sich in der Realität nur mit Schwierigkeiten oder prinzipiell überhaupt nicht durchführen lassen. Um nur ein Beispiel zu nennen, ist das Unendliche in den verschiedensten Formen konsistent in die Methoden der Mathematik eingebaut. Es können in Gedanken Bereiche untersucht werden, die der täglichen Erfahrung unzugänglich sind.

Die platonische Wirklichkeit der Mathematik und geistige Abenteuer: Der Mathematiker untersucht eine platonische Wirklichkeit, die außerhalb seiner selbst existiert. Wir wollen hier keine philosophischen Behauptungen aufstellen, sondern nur eine Erfahrung wiedergeben, die jeder aktive Mathematiker macht.

Die Welt der mathematischen Objekte und Strukturen weist in der Tat viele Kennzeichen der objektiven Wirklichkeit auf (Wiederholbarkeit, Nachprüfbarkeit). Der Mathematiker erforscht diese Welt genau wie ein Naturforscher oder Geograph die reale Welt. Die einzige Beliebigkeit besteht in den Bezeichnungen, die er den Objekten, die er findet, verleiht.

Ein Beweis ist ein Weg in dieser Landschaft von dem Bereich, den wir kennen, zu dem gewünschten Ziel (Sachverhalt). Auf dem Weg dahin lernen wir weitere Teile des Gebiets kennen und werden bald auch kürzere und bequemere Wege finden oder neue Wege zu Resultaten, die wir schon vorher kannten. Die Entwicklung verläuft dabei nicht nur in kleinen Einzelschritten, sondern an wichtigen Stellen in globalen Visionen, über die Mathematiker aller Zeiten von Archimedes über Galois bis Poincaré berichtet haben (ebenso wie die großen Philosophen Rousseau, Descartes, Pascal ...).

Die menschlichen Möglichkeiten sind notorisch beschränkt. Die Sicherheit der mathematischen Ergebnisse erlaubt es aber, die Beiträge von unzähligen Einzelwissenschaftlern aufzusummieren und zu einem großen Puzzle zusammenzufassen. Denn in der Mathematik geht nichts verloren – was einmal als richtig erkannt wurde, bleibt richtig. Mit der Zeit ist daher ein Gebäude von unerhörter Komplexität entstanden.

Welche Beziehungen bestehen zur objektiven Wirklichkeit und wo liegt der praktische Nutzen? Die Anwendungen der Mathematik sind keinesfalls nur ein nützlicher Nebeneffekt. Um bei dem oben beschriebenen Bild des Erforschers der mathematischen Wirklichkeit zu bleiben: Es könnte die Gefahr bestehen, daß dieser Forscher nur in seinem Elfenbeinturm bleibt, um diesen immer genauer zu untersuchen.

Um nicht zu verkümmern, braucht die Mathematik die frische Luft neuer unerforschter Gebiete. Sie lebt davon, in dauerndem Kontakt mit der objektiven Wirklichkeit neue Strukturen zu untersuchen, die anschließend ihren Platz in dem großen Gebäude finden. Es ergeben sich dann fast automatisch Beziehungen zu bereits existierenden Theorien.

Durch diese Einordnung werden Methoden direkt verfügbar zur Behandlung der neuen Phänomene. Auf der anderen Seite können die neuen Strukturen die bereits vorhandenen in oft ganz unvorhergesehener Weise ergänzen und damit ganze Bereiche revolutionieren und zu neuen Anwendungen (auch praktischen) an ganz anderen Stellen führen. So können etwa Ideen, die aus der theoretischen Physik kommen, zu Anwendungen in der Zahlentheorie führen oder auch umgekehrt.

Die Mathematik überwindet die physischen Grenzen unserer Existenz

Jahrhundertelang hat sich die Mathematik in einer fruchtbaren Symbiose mit der Physik entwickelt. An vielen Stellen ist nicht klar, ob ein spezielles Resultat der Mathematik oder der Theoretischen Physik zuzuordnen ist. Oft wurden physikalische Entdeckungen durch rein mathematische Überlegungen vorweggenommen. Bekannte Beispiele sind die elektromagnetischen Wellen oder die allgemeine Relativitätstheorie. Theorien wie die theoretische Mechanik, die Elektrodynamik, die allgemeine Relativitätstheorie, die Quantenmechanik oder die Chromodynamik sind im Grunde vollständig mathematische Theorien, die übrigens dem Laien ebenso schwer verständlich zu machen sind, wie alle mathematischen Strukturen.

Viele physikalische Sachverhalte lassen sich adäquat nur in sehr anspruchsvoller mathematischer Sprache formulieren. Wenn Physiker in populärwissenschaftlichen Darstellungen diese Strukturen beschreiben, arbeiten sie im allgemeinen mit ziemlich vagen Analogien. Wir werden weiter unten versuchen, einen neuen Teilbereich der modernen Mathematik in ähnlicher Weise mit Hilfe von Analogien zu erklären.

Wie sieht der "Subraum" von Star Trek aus?

Es gehört zum Wesen der Mathematik, einmal verstandene Funktionsweisen überall wiederzuerkennen. Dies führt zu der Universalität der Mathematik und der Anwendbarkeit der von ihr entwickelten Methoden auf die verschiedensten Mechanismen und Prozesse in unserer Umwelt.

In letzter Zeit finden die mathematischen Methoden auch in vielen anderen Einzelwissenschaften Eingang. Als Beispiele von Anwendungen neuerer mathematischer Methoden (die bereits vor diesen Anwendungen existierten) seien etwas wahllos genannt: Computertomographie, Fourieranalyse und Zerlegung in Wellenpakete ("wavelets") bei Erdölbohrungen, Hirnstrommessungen oder Echolot, Anwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften, der Logik und Algebra in der formalen Linguistik, statistische Methoden, Bildverarbeitung, "fuzzy"-Logik, Suchmethoden, Codierung und Verschlüsselung. Einfachere Anwendungen von mathematischen Begriffen sind inzwischen so alltäglich, daß man sie gar nicht mehr bemerkt.

Die Probleme aus diesen Bereichen geben dann auch umgekehrt Impulse für neue mathematische Entwicklungen. Auch aus diesem Grund ist die Entwicklung der Mathematik heute schneller als je zuvor.

Ein wichtiges Ziel der grundlagenorientierten Mathematik ist es, extrem komplexe Strukturen und Zusammenhänge noch beherrschen und verstehen zu können. Meistens werden schon nach kurzer Zeit die dabei entwickelten Methoden in ganz anderen Bereichen genutzt. Denn es kommt in der Mathematik fast nie auf das einzelne Problem an, sondern vielmehr auf die Methoden, die seine Lösung ermöglichen.

Alle verschiedenen Teile der Mathematik hängen zusammen und befruchten sich gegenseitig. Selbst, wenn sich jemand auf den Standpunkt stellen wollte, daß nur die Mathematik betrieben werden sollte, die sich direkt zum Beispiel auf technische oder ingenieurwissenschaftliche Probleme anwenden läßt, so müßte er doch bald erkennen, daß auch für diese Zwecke schon erstaunlich schnell Begriffsbildungen und Ergebnisse aus anderen Bereichen der Mathematik (etwa der Geometrie oder der Topologie oder der Theorie der analytischen Funktionen) von entscheidender Relevanz sind.

Räume, deren Dimension keine ganze Zahl ist

Zum Schluß noch einige Worte zur Rolle des Computers in der modernen Mathematik.

Er spielt zunächst einmal die Rolle, die er auch in anderen Einzelwissenschaften spielt. Er wird in der Mathematik eingesetzt zur Simulation von komplexen dynamischen Systemen, zur Umsetzung der mathematischen Erkenntnisse in praktische Berechnungen und zum Testen von Hypothesen. Darüber hinaus gibt aber die Untersuchung und Berücksichtigung seiner Funktionsweise auch Anlaß zu neuen mathematischen Untersuchungen und Strukturen, die genau wie die, die aus den anderen Wissenschaften kommen, im Gebäude der Mathematik ihren Platz finden und dem Rest der Mathematik neue Anstöße geben.

Der Computer spielt aber in der Grundlagenforschung nicht die zentrale Rolle, die in der Öffentlichkeit oft vermutet wird (und kann sie auch aus prinzipiellen Gründen nicht spielen). Wie groß die Mißverständnisse hier sind, wird etwa illustriert durch die folgende Episode: Der frühere französische Staatspräsident Giscard d’Estaing führte in einem Interview die Lösung des Problems von Fermat als ein Beispiel für den Erfolg der immer größer werdenden Leistungsfähigkeit von Computern an. In Wirklichkeit beruht diese Lösung auf extrem verfeinerten und komplizierten theoretischen Methoden, die erst in letzter Zeit entwickelt wurden. Der einzige Beitrag des Computers bestand in der Textverarbeitung beim Tippen des Artikels.

Die Mathematik wird immer das Werkzeug des Menschen bleiben, um seine Umwelt zu verstehen und zu strukturieren und auch, um immer komplizierter werdende Mechanismen, die sich in der Technik und der Gesellschaft herausbilden, wie etwa gerade die Computer, noch beherrschen und verarbeiten zu können.

Wir kommen nun zum mehr spezifischen Inhalt dieses Artikels, nämlich der Darstellung neuer mathematischer Ideen, die die Grundlage der Forschung unserer Arbeitsgruppe am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg bilden. Wir wollen auch hier etwas weiter ausholen und die Ursprünge dieser Ideen zurückverfolgen.

John von Neumann (geb. 1903 in Budapest, nach kurzer Tätigkeit in Hamburg und Berlin Professor in Princeton) war einer der bedeutenden Mathematiker dieses Jahrhunderts, der zu fast allen Gebieten der Mathematik, angefangen bei den Grundlagen der Mathematik und Logik bis hin zur Funktionalanalysis, wichtige Ideen und Ergebnisse beigetragen hat. Er ist der Begründer der Spieltheorie und hat das heute verwendete Konzept des Computers entwickelt; er hat das theoretische Fundament der Quantenmechanik und des Meßprozesses in der Quantenmechanik analysiert; er gehörte übrigens auch zu der Gruppe von Wissenschaftlern, die bei der Entwicklung der Atombombe mitgearbeitet haben.

In einer langjährigen Zusammenarbeit mit Francis Murray, in die er außergewöhnlich viel Energie investierte (in seinen gesammelten Werken sind zwei von sechs Bänden diesem Bereich gewidmet), untersuchte er Räume, deren Dimension nicht notwendigerweise eine ganze Zahl (1, 2, 3, ... ) ist, sondern eine beliebige positive Zahl (wie etwa 5,761). Das heißt, in einem solchen Raum gibt es gewissermaßen 5,761 verschiedene "Richtungen". Dies ist nicht zu verwechseln mit der nichtganzzahligen "metrischen" Dimension von fraktalen Räumen, die ein viel weniger tiefliegendes Phänomen darstellt.

Von Neumann war auf diese Räume gestoßen im Zusammenhang mit seiner Untersuchung des in der Quantenmechanik beobachteten Phänomens, daß das Ergebnis von mehreren aufeinanderfolgenden Messungen möglicherweise von der Reihenfolge der Messungen abhängt (so bekommt man unter Umständen verschiedene Resultate, wenn man zuerst die Position und dann den Impuls oder zuerst den Impuls und dann die Position eines Teilchens mißt). Die beiden Meßprozesse sind nicht vertauschbar oder nicht kommutativ, wie man in der Mathematik sagt. Wertebereiche von nichtkommutativen Größen sind typischerweise diskret oder fraktal.

Wie sieht der Raum im mikroskopisch Kleinen aus? Wir wissen es nicht – aber vieles deutet darauf hin, daß die Struktur des Raums auf diesem Niveau nicht mit der uns bekannten kontinuierlichen Geometrie beschrieben werden kann. Zum Beispiel könnte es so etwas wie eine kleinste Länge geben, das heißt, der Abstand zwischen zwei "Punkten" müßte mindestens diese Länge betragen.

Trotzdem sollten Objekte in diesem Raum sich noch kontinuierlich bewegen können. Der Begriff eines Punktes selbst müßte dann seine Bedeutung verlieren.

Für die Mathematiker ist all dies schon Wirklichkeit. Solche Räume existieren in der Mathematik und können untersucht und beschrieben werden. Sie basieren auf einer weitreichenden Weiterentwicklung der oben erwähnten Ideen von Neumanns und können nichtganzzahlige Dimension haben.

Wenn man "Funktionen" auf diesen Räumen miteinander multipliziert, so hängt das Resultat von der Reihenfolge der Faktoren ab; sie werden daher auch nichtkommutative Räume genannt. Solche Räume können etwa in Richtungen, die in unserem üblichen euklidischen Raum nicht existieren, verschoben oder gedreht werden und zeigen dann ganz neue Strukturen oder Beziehungen zwischen Teilbereichen (so könnte man sich vielleicht den "Subraum" in Star Trek vorstellen).

Dem Wesen der Mathematik entsprechend werden diese Objekte, die hier blumenreich und scheinbar spekulativ umschrieben werden, aber mit logischer Genauigkeit untersucht, und die Aussagen darüber sind natürlich vollständig beweisbar.

Die geometrische Gestalt solcher Gebilde zu beschreiben, ist ein Problem, dem man sich erst in jüngster Zeit zuwenden konnte, da die erforderlichen Methoden erst vor kurzem entwickelt worden sind (unter sehr aktiver Mitwirkung auch von Heidelberger Wissenschaftlern).

Es ist eine Idee der modernen Differentialgeometrie und der algebraischen Topologie, daß geometrische Eigenschaften wie die Krümmung oder die globale Gestalt eines geometrischen Objekts durch Zahlen (oder ähnliche Größen), sogenannte "Invarianten", beschrieben werden können. Solche Invarianten müssen die Eigenschaft haben, daß sie sich nicht ändern, wenn das geometrische Objekt verschoben oder deformiert wird, ohne seine Gestalt zu ändern.

(Um eine Idee davon zu bekommen, was hier mit Gestalt im einfachsten Fall gemeint ist, stelle man sich die Oberfläche eines Autoreifens und die Oberfläche eines Balls vor. Obwohl beides zweidimensionale geschlossene Flächen sind, ist ihre Gestalt fundamental verschieden.)

Falls zwei Objekten verschiedene Zahlen als Invarianten zugeordnet sind, so haben sie auch verschiedene Gestalt. Auf diese Weise kann man zum Beispiel die Kleeblattschlinge von ihrem Spiegelbild unterscheiden. Es ist im allgemeinen nicht einfach, solche Invarianten zu finden.

Wie man die Kleeblattschlinge von ihrem Spiegelbild unterscheiden kann

Es ist nun in letzter Zeit gelungen, Invarianten zu finden, die sich in ganz überraschender Weise für die oben beschriebene ganz allgemeine Art von nichtkommutativen Räumen konstruieren lassen. Zu dieser Entwicklung hat unsere Heidelberger Arbeitsgruppe wesentlich beigetragen. Die neuen Methoden basieren auf sogenannten Homologie- und Kohomologietheorien. Bei diesen Theorien zerlegt man, grob gesprochen, ein kompliziertes Gebilde in einfache Einzelstücke und benutzt eine Systematisierung der Beschreibung der Beziehungen zwischen den Einzelstücken. Diese Systematisierung erfolgt algebraisch, so daß also geometrische Sachverhalte in algebraische Formeln übersetzt werden. Ein in Heidelberg erzieltes Resultat erlaubt es, die Invarianten mit Hilfe spezieller Zerlegungen wirklich zu berechnen und außerdem die verschiedenen bekannten Kohomologietheorien miteinander zu vergleichen.

Das Faszinierende an den Theorien für den nichtkommutativen Fall ist, daß sie Methoden aus fast allen Gebieten der Mathematik benutzen und sich andererseits auch auf Problemstellungen in vielen verschiedenen Bereichen anwenden lassen.

Wie nicht anders zu erwarten, haben die neuen Ideen auch gleichzeitig zu einem neuen und besseren Verständnis der vorher für "normale" geometrische Objekte benutzten Begriffe geführt. Die Idee dabei ist, daß klassische geometrische Gebilde in nichtkommutative Räume eingebettet werden können. Die Homologie- und Kohomologieinvarianten können erhalten werden, indem man untersucht, wie die gegebenen Objekte sich in dieser nichtkommutativen Umgebung bewegen und deformieren lassen.

Ist das alles nur eine mathematische Spielerei?

Die nichtkommutativen Gebilde werden untersucht, weil sie, wie oben beschrieben, in der platonischen Wirklichkeit auf unserem Weg lagen. Aber: Ihre Untersuchung hat natürlich, wieder wie oben beschrieben, ganz neue Anwendungen in den verschiedensten Gebieten der Mathematik ergeben.

Es gibt auch Anwendungen auf ganz "alltägliche" Probleme. So wurde die Invariante, die die Kleeblattschlinge von ihrem Spiegelbild, oder allgemeiner, verschiedene Knoten voneinander unterscheidet, gerade auf diesem Weg gefunden. Dies wiederum war von Nutzen in der Molekularbiologie, um die Verknotungen von DNS-Molekülen zu klassifizieren.

Es wird außerdem gehofft, daß die nichtkommutativen Räume in der Tat einen geeigneten Rahmen zur Beschreibung der Geometrie unserer Welt auf mikroskopisch kleinem Niveau bieten könnten. Eine Reihe von herausragenden Mathematikern und Physikern arbeiten an diesem Programm.

Zwei Fieldsmedaillen wurden in den letzten Jahren für Arbeiten auf dem neuen Gebiet der Nichtkommutativen Geometrie vergeben – eine an den französischen Mathematiker Alain Connes, der das Gebiet mitbegründet und durch seine Beiträge geprägt hat, die andere an den neuseeländischen Mathematiker Vaughan Jones, der die Beziehungen zur Klassifikation von Knoten, Quantensymmetrien und zur statistischen Mechanik entdeckt hat.

In Heidelberg wurden die Techniken entwickelt, die es erlauben, die oben erwähnten Invarianten für nichtkommutative Räume zu definieren und zu berechnen. Die Forschung auf diesem Gebiet wurde in den letzten 6 Jahren von der DFG im Rahmen der Forschergruppe "Topologie und Nichtkommutative Geometrie" gefördert.

Autor:
Prof. Dr. Joachim Cuntz
Mathematisches Institut
Im Neuenheimer Feld 288
69120 Heidelberg
Telefon (06221) 54 56 92

https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/cuntz/cuntz.html

https://www.uni-muenster.de/FB10/Service/show_perspage.shtml?id=43

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