Primzahlen, das wohl berühmteste und verkannteste Rätsel der Mathematik, geben seit undenklichen Zeiten immer wieder  Anlass, ihre Abfolge als mysteriös und ihr Auftauchen als zufällig zu bezeichnen. Dies wird der mathematischen Realität jedoch in keiner Weise gerecht.

Bernhard Riemann hat die Komplexität der Primzahlen untersucht. Die Riemannsche Vermutung gilt als Schlüssel zum Verständnis der Primzahlen, der wichtigsten Zahlenfolge in der Mathematik. Dies setzt aber in der Regel ein Studium der Mathematik voraus.

Wer von den mathematisch einfach gebildeten Menschen sollte also noch den Mut haben, sich mit Primzahlen abzugeben?

Es sind diejenigen mit dem Mut, einen einfacheren Weg zu finden. Dabei stellt sich dann heraus, dass die Abfolge der Primzahlen weder mysteriös noch zufällig ist. Eine Regelmäßigkeit ist auch mit mathematischen Grundkenntnissen feststellbar und erkennbar.

Formel zur Berechnung von Primzahlen

Die schon lange gesuchte Formel für Primzahlen gleicht der Suche nach einem Phantom, weil jede Primzahl mit ihrer besonderen Eigenschaft der Primalität ein einzigartiges Muster darstellt, das im Zusammenhang mit allen anderen Primzahlen deren Abfolge bestimmt und ein Hypermuster erzeugt, welches in keine Formel gefasst werden kann. Deshalb existiert diese Formel mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht und wird weiterhin zu den ungelösten und unlösbaren Problemen der Mathematik zählen.  

Es ist seltsam, scheint aber Fakt zu sein, dass in diesem Hypermuster die Mathematik gleichsam über sich selbst hinauswächst und sich den Weg verschließt, dieses Hypermuster in einer Formel auszudrücken. Jedoch unterstreicht dies den primären Charakter der Primzahlen, der sich auch darin äußert, dass sie sich nur beschränkt einem Zugriff unterwerfen. 

Eine Art Ersatzformel ist der dem Sieb des Eratosthenes zu Grunde liegende Algorithmus. Er bestimmt das ("un"-) regelmäßige Auftreten der Primzahlen und lässt sie geheimnisvoll, rätselhaft, willkürlich und zufällig erscheinen. Ihre gesetzmäßige Abfolge unterliegt jedoch einer einfachen Regel: Jede Primzahl legt fest, dass ihre Vielfachen keine Primzahlen sind.

Somit findet sich eine neue Primzahl immer als Lücke der Vielfachen der ihr vorausgehenden Primzahlen.

Die Ordnung der Primzahlen - das Gesetz des faktoriellen Grenzwerts

Die hinter der komplexen Struktur der Primzahlenverteilung verborgene Ordnung zeigt sich über Grenzwerte als angestrebte Proportionalitätsfaktoren im Gesetz des faktoriellen Grenzwerts. Dieses bildet für alle auftretenden Mengenverhältnisse von Primzahlen in faktoriell erweiterten Zahlenräumen Grenzwerte, die gleich einem angewandten Faktor sind.

Dies offenbart die große Tiefe und Schönheit der hinter den Primzahlen stehenden Ordnung. Sie sind so gleichmäßig wie nur möglich im Universum der Zahlen verteilt und unterliegen einer perfekten Regelmäßigkeit. Ihre Anordnung erfolgt optimal und ihre Verteilung ist auf beste Weise ausgeglichen. Siehe auch Brian Conrey.

Das scheinbare Chaos verbirgt eine harmonische Struktur, deren Gesetzmäßigkeit allen Zahlensystemen zu Grunde liegt.

Beispiel 1 (Proportionalitätsfaktor = 2):

30.000.000 Primzahlen bis 573.259.391 stehen zu

57.893.494 Primzahlen bis 1.146.518.782 im Verhältnis 1,9297831333333333333333333333333...

Beispiel 2 (Proportionalitätsfaktor = 10):

1.699.246.750.872.437.141.327.603 Primzahlen bis 100.000.000.000.000.000.000.000.000 (10 hoch 26) stehen zu

16.352.460.426.841.680.446.427.399 Primzahlen bis 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (10 hoch 27)

im Verhältnis 9,6233583606653390322961881126674...

Verteilung der Primzahlen

Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, der Fundamentalsatz der Arithmetik, besagt, dass jede natürliche Zahl größer 1, die keine Primzahl ist, eindeutig als Produkt aus Primzahlen gebildet werden kann.

Die sich daraus ergebende Komplexität erzeugt die Schönheit der faktoriellen Grenzwerte und der Geraden auf der Ulam-Spirale, auf der alle Primzahlenquadrate ab Primzahl 3 liegen.

Das scheinbar chaotische Auftreten der Primzahlen mit einer Unübersichtlichkeit ungeahnten Ausmaßes sollte uns nicht darüber hinwegtäuschen, dass hier das höchste Maß an Ordnung vorliegt, das jemals bei einem mathematischen Gesetz feststellbar war.

Feststellung der Primalität mit dem Primzahlencode

Ob eine Zahl eine Primzahl ist, sieht man ihr nicht an. Viele Arten von Primzahltests wurden in der Geschichte der Mathematik erdacht, bei denen in der Regel eine mehr oder weniger große Komplexität zum Ansatz kommt. In der Anfangszeit spielten dabei Probedivisionen eine wichtige Rolle, die später stark an Bedeutung verloren, als effizientere Methoden ersonnen wurden.

Der jeder natürlichen Zahl innewohnende Code (Beziehung zu ihrem Quadrat) hat die besondere Eigenschaft, in ihrem Kehrwert eine Periodenlänge zu erzeugen, die als Einfache oder Vielfache zu Zahlen mit gleichen Primfaktoren führt, wie die in einer Zahl enthaltenen.

Wird bei dieser Methode eine natürliche Zahl als erste folgende Zahl ihrer Periodenlänge oder eines der Vielfachen ihrer Periodenlänge gefunden, ist sie eine Primzahl. Bei Zahlen, die keine Primzahlen sind, lassen sich auf diese Weise nur Zahlen finden, die gleiche Primfaktoren als ggT wie eine zu prüfende Zahl enthalten, aber nicht mit ihr selbst übereinstimmen.

Somit ist in der Periodenlänge über die Primfaktorzerlegung die Primalität einer Primzahl verborgen!

Der Code geht immer einen dieser zwei Wege! Deshalb handelt es sich um eine sichere Methode, Primalität festzustellen.

Die Teilbarkeiten der Periodenlängen ergeben sich aus dem kleinen Fermat. Grundlage ist die Kongruenz in der Zahlentheorie. Diese beschreibt die Beziehungen zwischen ganzen Zahlen.

Dies ist ein sehr schöner, wenn auch rechenintensiver Weg zur Feststellung der Primalität. Die determinierte Menge der Vielfachen der Periodenlänge ist die Basis für relativ wenig notwendige Probedivisionen, um Primfaktoren zu finden. Die Berechnung nimmt allerdings proportional zur Größe einer Zahl zu, was bei großen Zahlen eine entsprechend lange Rechenzeit erfordert. Trotzdem entpuppt sich bei genauerem Hinsehen diese Methode als einfacher und eleganter Weg mit viel Ästhetik.

Bsp.: Primzahl 32.999 = 1 · 32.999: Periodenlänge 2.357

14 · 2.357 + 1 = 32.999

Bsp.: Nicht-Primzahl 202.429 = 47 · 59 · 73: Periodenlänge 5.336

15 · 5.336 + 1 = 80.041 = 13 · 47 · 131

34 · 5.336 + 1 = 181.425 = 3 · 5 · 5 · 41 · 59

52 · 5.336 + 1 = 277.473 =  3 · 7 · 73 · 181

Feststellung des Kehrwerts mit der Gaußschen Summenformel

Da die der Periodenlänge zu Grunde liegende Gesetzmäßigkeit auf dem Zusammenhang von n + 1 beruht, kann mit Hilfe der Gaußschen Summenformel  (n/2 · (n + 1)) der Kehrwert einer Zahl bestimmt werden.

Beispiel anhand der Zahl 239: Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 238 = 28441

28441 = (238/2) · 239 = 7 · 17 · 239

238 = 2 · 7 · 17

7 · 17 / 28441 = 0,00418410041841... = 1/239 = 1 - (238/239)

Somit ist der Kehrwert einer Zahl in den Primfaktoren der ihr vorausgehenden Zahl verborgen.

Grenzwert π²/6

Leonhard Euler fand im Jahr 1735 heraus, dass die Summe der reziproken Quadratzahlen gleich dem Produkt der Reihe der Primzahlenquadrate geteilt durch ihre Verminderung um 1 ist, dem Grenzwert π²/6 (=1,644934...).

Das wird von Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher sehr anschaulich erklärt, hier die reziproken Quadratzahlen und hier die Reihe, in der nur Primzahlen vorkommen.

Die unendlichen Reihen mit dem Ergebnis π²/6 bringen eine Analogie zwischen Addition und Multiplikation zum Ausdruck, die durch die 1 begründet ist. Erhöht man bei den reziproken Quadratzahlen einen Faktor im Nenner um 1, wird der Grenzwert zu 1. Erhöht man bei der Reihe mit den Primzahlen den Nenner um 1, wird der Grenzwert ebenfalls zu 1.

In der Zetafunktion werden in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv/natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden.

Die Sonderstellung der ersten zwei Primzahlen 2 und 3

Die Multiplikation von 2 und 3 ergibt 6 als Systemzahl der Primzahlen.

Die Addition der Quadrate von 2 (4) und 3 (9) ergibt die 6. Primzahl 13 als Auftakt zur Symmetrie aller Primzahlenquadrate zur Systemzahl 6.

Somit ist die 13 die erste Primzahl bei der Anwendung der ersten zwei Primzahlen 2 und 3 auf den Satz des Pythagoras.

Und sie ist die einzige Primzahl, die sich als Summe der Quadrate von 2 und 3 in die Symmetrie der Primzahlenquadrate zur Systemzahl 6 einfügt.

Die ersten drei Ziffern ihrer Wurzel werden von den Ziffern der Zahl 360 (3,6055512754639892931192212674705...) gebildet, eine merkwürdige Tatsache angesichts der Einteilung eines Kreises und einer Kugel in 360 Grad.

Damit weisen die 2 und die 3 auf die Analogie von Addition und Multiplikation bei den Quadratzahlen und Primzahlen hin.

Die Primzahlen treten als Primfaktoren über die Multiplikation in Wechselwirkung und bauen so die zusammengesetzten Zahlen auf. Gleichzeitig werden die Primfaktoren durch die Addition angeordnet.






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Primzahlenkonstante 0,33023

Die Reihe der reziproken Primzahlenquadrate mit einem um 1 erhöhten Faktor ergibt den Grenzwert 0,33023.

6 mal der Kehrwert aus 0,33023 abzüglich der sich vor dem Komma ergebenden Zahlen ergibt 1/2 (siehe folgende Grafik). Dies könnte ein Hinweis auf den Realteil 1/2 der nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Vermutung sein.






Eine Abänderung der obigen Formel zeigt die quadratische Symmetrie der reziproken Quadratzahlen.







 






Schätzung von Primzahlenmengen anhand des Primzahlsatzes

Gauß hat als erster Mathematiker die Wahrscheinlichkeit von Primzahlen mit dem Primzahlsatz berechnet. Diesem liegen zwei asymptotisch äquivalente Funktionen zu Grunde, deren elementare Bedeutung sich in der Konvergenz zum Grenzwert 1 zeigt. Hierbei lässt sich die Primzahlenmenge bis zu einer bestimmten Zahl x durch Division dieser Zahl mit dem Ergebnis der Division dieser Zahl durch ihren natürlichen Logarithmus schätzen. Eine genaue Mengenermittlung ist nicht möglich. Das Verhältnis von geschätzter und tatsächlicher Primzahlenmenge konvergiert zum Grenzwert 1 bei Annäherung an unendlich.

In "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" hat Bernhard Riemann den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion gezeigt. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen dieser komplexwertigen Funktion auf der kritischen Geraden mit Realteil 1/2 liegen. Riemann zeigte in einer Grafik, dass die Nullstellen sich auf einer geraden Linie befinden.

Die Eulersche Zahl e liegt dem natürlichen Logarithmus zu Grunde. Jakob Steiner zeigte, dass e beim Ziehen der Wurzel mit sich selbst die größte Wurzel bildet, woraus sich die elementare Bedeutung der Eulerschen Zahl beim Primzahlsatz ergibt.

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Besonderheiten der Zahl 666 und der Primzahlen - Quelle: Zahlen und Zusammenhänge von Herbert Müller

666 = Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 36 (6 · 6)

666 = Summe der Quadrate der ersten 7 Primzahlen = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17²

666 = Summe der ersten 144 Stellen von Pi. 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2 · 2 · 6 · 6 = 12 · 12

144 000 / 666 = 216,216 216 216 216 216 216 216 216 . . .

216 = 6 · 6 · 6

Die Bedeutung der Zahl 666 in der Königskammer der Cheops-Pyramide nach Axel Klitzke

Magisches Quadrat mit Primzahlen:

Zeilensumme = Spaltensumme = Diagonalensumme = 666

Wechselt man sehr schnell mit den Augen von einer Primzahl zur anderen, nimmt man an den Kreuzungen der schwarzen Linien weiße Punkte wahr.

Mehr dazu unter

Sinnestäuschungen - 1

Sinnestäuschungen - 2.














Besonders danke ich Dr. J. Volkmar Schmidt, dessen Software HACKY mir eine sehr große Hilfe war beim Erkunden der Welt der Primzahlen. HACKY ist ein sehr schnelles und effizientes Werkzeug, um Primzahlen zu generieren und zu prüfen.

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