Großer Satz von Fermat (aⁿ + bⁿ ≠ cⁿ für a, b, c, n ϵ N mit n > 2)

Fermat hat sich nicht geirrt. Sein in seinem Exemplar der Arithmetica des Diophantos von Alexandria angeführter "wahrhaft wunderbarer" Beweis für die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen für Potenzen höher 2 beim Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Änderung der Gaußschen Summenformel in n(n-1)/2, deren Summen die Dreieckszahlen bis n-1 als Faktor 6 für jedes n ergeben. Die besonderen Eigenschaften der Faktoren 6 sind die Grundlage für Fermats einfachen Beweis. 

Beweis der Riemannschen Vermutung

Und es kommt noch besser. Da die Faktoren 6 auch über die Multiplikation von n(n²-1) aus der Formel für Kuben berechnet werden können, besteht ein Zusammenhang zur Addition über n(n-1)/2. Die Addition wiederum steht im Zusammenhang mit den Quadratzahlen über n(n-1)/2 · 2 + n = , die mit dem unendlichen Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Grenzwert π²/6 (=1,644934...) im Zusammenhang stehen. Zu guter Letzt bilden die Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus (n²-1)/n² den Grenzwert 1/2, der die Grundlage für den Beweis der Riemannschen Vermutung ist, die auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation beruht und davon ausgeht, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil 1/2 besitzen. Der Realteil 1/2 lässt sich über n(n-1)/2 auf die Quadratzahlen zurückführen. Hierbei ist überall eine 6er-Symmetrie wirksam, die immer bei Quadratzahlen in Erscheinung tritt. Mehr dazu weiter unten.


Durch die Addition zweier dritter Potenzen wird die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen verlassen, weil der Faktor 6 eines n1 auch in der 3. Potenz eines n2 enthalten ist. Somit ist eine Addition von vorneherein ausgeschlossen!

Gemäß dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist die Primfaktorzerlegung eindeutig auf Grund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Diese wird bei der Faktor-6-Zerlegung über die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen auf die Addition angewendet.

Aus den möglichen Additionen der Faktoren 6 von n1 und n2 geht für jedes n3 sehr anschaulich hervor, dass gleiche Faktoren 6 nicht bildbar sind. Das Beispiel anhand der Zahl 19 zeigt: Die Summen der Faktoren 6 (Spalte 5) geteilt durch 19 ergeben durch ihre Differenzen die Reihe der natürlichen Zahlen.

Download Excel-Tabelle zur Berechnung der möglichen Faktor-6-Kombinationen bei a³ + b³ = c³


Analogie zwischen Addition und Multiplikation

Die o. g. Änderung der Gaußschen Summenformel bewirkt eine Äquivalenz zwischen den Quadratzahlen und den Kubikzahlen über den Faktor 6, über den die Summen der Reihe n(n-1)/2 äquivalent zu n(n²-1) sind. Diese Äquivalenz hat ihre Grundlage im Quadrat (n(n-1)/2 · 2 + n = n² ) und zeigt die additive Bildung des Faktors 6 als Grundlage der Analogie zwischen Addition und Multiplikation, die Euler (Summe und Produkt) nachgewiesen hat mit dem Grenzwert π²/6.

Somit hat im Grunde genommen bereits Euler auf Grundlage der Änderung der Gaußschen Summenformel die Fermatsche Vermutung bewiesen, weil er die Analogie zwischen Addition und Multiplikation gezeigt hat, die über die Summen der Dreieckszahlen der Reihe n(n-1)/2 in Erscheinung tritt!

Ersichtlich ist dies aus der sich aus der Addition der Dreieckszahlen ergebenden 6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen aus der Multiplikation (Potenzierung) hervorgehenden höheren Potenzen, die eine Parallele darstellt zur Multiplikation der Primzahlen, die auch auf einer 6-er-Symmetrie beruht. Dies mündet ein in den Beweis der Riemannschen Vermutung (siehe weiter unten).

Die Reihe des Einfachsten, was die Mathematik zu bieten hat, die natürlichen Zahlen, bestimmt die Dreieckszahlen, die über den Faktor 6 eine "wunderbar" einfache und klare mathematische Logik an den Tag legen. Einfacher und "wunderbarer" geht es wirklich nicht mehr.

Beweis der Riemannschen Vermutung

Die Riemannsche Vermutung beruht auch auf der Analogie zwischen Addition und Multiplikation. Da Euler diese bewiesen hat, hat er damit den Geniestreich seines Lebens geliefert, den Beweis für die Riemannsche Vermutung!

Das unendliche Produkt der Primzahlen der Form p²/(p²-1) mit dem Ergebnis des Grenzwerts π²/6 (=1,644934...) hat nämlich ein Pendant bei den Quadratzahlen mit dem unendlichen Produkt aus 1/(n²/(n²-1)) bzw. (n²-1)/ mit dem Grenzwert 1/2.

Diese Formel stellt einen Bezug her zwischen Quadratzahlen und höheren Potenzen, der auf der 6-er-Symmetrie basiert. Somit ist auch das aus ihr hervorgehende Produkt die Grundlage für jede Symmetrie zur Zahl 6, der auch die Primzahlen unterliegen mit dem unendlichen Produkt aus p²/(p²-1).

Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion besitzen den Realteil 1/2 laut der Riemannsche Vermutung. Somit zeigt diese Formel den Beweis, weil n²-1 seinen Ursprung in der Änderung der Gaußschen Summenformel hat.

Der Realteil 1/2 wird so zu seinem Ursprung zurückgeführt, dorthin, wo alles angefangen hat, bei n(n-1)/2.

Und das hat bei n(n+1)/2 angefangen. Gauß lässt grüßen. Der Kreis hat sich geschlossen.

6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen höheren Potenzen

Dreieckszahlen ergeben sich auch aus n(n²-1)/6, einer Ableitung der Formel für Kuben: n(n²-1) + n. Dies begründet die 6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen höheren Potenzen.










Auffallend bei folgenden Beispielen ist, dass wenn F6 (a) + F6 (b) = F6 (c), a + b - c immer gleich a³ + b³ - c³ ist. Warum wohl?

























Wohlordnung der Faktoren 6

Dass die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen ihren Ursprung in der Wohlordnung der natürlichen Zahlen hat, zeigt das Auftreten der Primzahlen in der Primfaktorzerlegung. Alle Primzahlen größer 3 sind als größter Faktor in der Primfaktorzerlegung ihres Faktors 6 enthalten, eine Nicht-Primzahl nur in Ausnahmefällen mit ihren Primfaktoren.