Großer Satz von Fermat (aⁿ + bⁿ ≠ cⁿ für a, b, c, n ϵ N mit n > 2)

Fermat hat sich nicht geirrt. Sein in seiner Arithmetica des Diophantos von Alexandria angeführter Beweis für die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen für Potenzen höher 2 beim Satz des Pythagoras leitet sich ab von der Formel für Kuben: n(n²-1) + n.

Die Änderung der Gaußschen Summenformel in n(n-1)/2 berechnet den Wert n(n²-1) aus den Summen der Dreieckszahlen bis n-1 als Faktor 6 für jedes n. Deshalb muss der Faktor 6 eines n3 die Summe der Faktoren 6 von n1 und n2 sein, was nicht möglich ist, weil die Addition der Summen der Dreieckszahlen von n1 und n2 die Logik der Summenbildung für ein einziges n verlässt und deshalb zum Faktor 6 eines n3 immer eine Mindestdifferenz von 1 vorliegt.

Der Beweis wird zunächst hergeleitet und am Ende dieser Seite geführt.

Artikel zum Thema

Peter Roquette 24.01.1998

Axel Schüler 31.03.2001

Nina Ramsauer 16.12.2004

Der Tagesspiegel 15.03.2016


Da die Abfolge der natürlichen Zahlen die Grundlage für die Faktor-6-Berechnung ist, lässt sich aus den möglichen Additionen der Faktoren 6 von n1 und n2 für jedes n3 eine Folge der natürlichen Zahlen ableiten, was mit dem Beispiel anhand der Zahl 19 in der folgenden Grafik gezeigt wird.

Die Summen der Faktoren 6 (Spalte 5) ergeben geteilt durch ein gesuchtes n3 aufgrund der immer auftretenden Differenz von 1 die Reihe der natürlichen Zahlen (Spalte 9). Der Faktor 6 eines gesuchten n3 ist immer das letzte Glied in einer Reihe (Spalte 5) und wird von keiner möglichen Kombination gebildet.

Download Excel-Tabelle zur Berechnung der möglichen Faktor-6-Kombinationen bei a³ + b³ = c³










Die Gültigkeit dieses Beweises für Potenzen höher 3 ergibt sich aus der Symmetrie der dritten Potenzen zur Zahl 6.

Es ist also kein Zufall, dass der Faktor 6 die Grundlage des Beweises für alle Potenzen höher 2 ist. So wird der Beweis für die 3. Potenz zu einem Beweis für alle Potenzen höher 2 durch simple Multiplikation mit beliebigen weiteren Vielfachen von n.










Zur praktischen Veranschaulichung zeigt die folgende Grafik ein paar Beispiele. Auffallend ist, dass wenn F6 (a) + F6 (b) = F6 (c) ist, a + b - c immer gleich a³ + b³ - c³ ist. Warum wohl?

























Der auf der Mindestdifferenz von 1 der Faktoren 6 beruhende Beweis hat tatsäch die von Fermat formulierte Einfachheit ("Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“).

Die folgende Grafik zeigt die Logik und das Prinzip des Beweises anhand des zweiten Beispiels in obiger Grafik (9, 10, 12).

  1. Die Addition der Faktoren 6 von n1 und n2 ist immer das Doppelte des Faktors 6 von n1 und die bis n2 neu hinzukommenden Dreieckszahlen.
  2. Der Faktor 6 von n3 ist immer der Faktor 6 von n1 und die bis n3 neu hinzukommenden Dreieckszahlen. Also fehlt die Verdopplung des Faktors 6 von n1. Das heißt, dass bei jedem Faktor 6 von n3 ein Mal der Faktor 6 von n1 fehlt. Deshalb muss der Faktor 6 von n3 sich von der Addition der Faktoren 6 von n1 und n2 immer um die kleinste vorkommende Einheit des Faktors 6 von n1 unterscheiden. Und das ist die 1!
  3. Es ist also vollkommen egal, wie sich der Wert des Faktors 6 eines n3 entwickelt, da allein durch die Addition der Faktoren 6 von n1 und n2 festgelegt wird, dass eine Mindestdifferenz von 1 zum Ansatz kommt.

Das ist offensichtlich und bedarf keiner weiteren Erklärung. Die Addition bewirkt die Unmöglichkeit der Falschheit des Großen Satzes von Fermat. Einfacher geht es wirklich nicht mehr!